ベクトルと図形(内分点・交点)

$\vec{a}$、$\vec{b}$ が一次独立なので、係数比較の原理が使えます。左辺の $\vec{a}$ の係数と右辺の $\vec{a}$ の係数が等しく、左辺の $\vec{b}$ の係数と右辺の $\vec{b}$ の係数が等しくなります。

$\vec{a}$ の係数を比較すると、

$2x - 1 = 3$

両辺に $1$ を加えます。

$2x = 4$

両辺を $2$ で割ります。

$x = 2$

$\vec{b}$ の係数を比較すると、

$y + 3 = 1$

両辺から $3$ を引きます。

$y = -2$

答え: $x = 2$、$y = -2$

$\mathrm{M}$ は $\mathrm{OB}$ の中点なので $\overrightarrow{\mathrm{OM}} = \dfrac{1}{2}\vec{b}$、$\mathrm{N}$ は $\mathrm{OA}$ の中点なので $\overrightarrow{\mathrm{ON}} = \dfrac{1}{2}\vec{a}$ です。

手順1: 点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AM}$ 上にあることを使う

$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AM}$ 上の点なので、ある実数 $t$($0 \leq t \leq 1$)を使って、

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t\left(\overrightarrow{\mathrm{OM}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)$

と表せます(これは $t=0$ のとき $\mathrm{P}=\mathrm{A}$、$t=1$ のとき $\mathrm{P}=\mathrm{M}$ となる、線分 $\mathrm{AM}$ 上の点の一般的な表し方です)。右辺を整理します。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \vec{a} + t\left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\right) = \vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b} - t\vec{a} = (1-t)\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b} \quad \cdots \text{①}$

手順2: 点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{BN}$ 上にあることを使う

同じように、ある実数 $s$($0 \leq s \leq 1$)を使って、

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} + s\left(\overrightarrow{\mathrm{ON}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) = \vec{b} + s\left(\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}\right) = \frac{s}{2}\vec{a} + (1-s)\vec{b} \quad \cdots \text{②}$

手順3: ①と②を比較する

①と②はどちらも $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を表しているので、①$=$②です。

$(1-t)\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b} = \frac{s}{2}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$

$\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ は三角形をなすので $\vec{a}$、$\vec{b}$ は一次独立です。係数比較の原理より、

$1 - t = \frac{s}{2} \quad \cdots \text{(i)}$

$\frac{t}{2} = 1 - s \quad \cdots \text{(ii)}$

手順4: 連立方程式を解く

(ii)を $s$ について解きます。

$s = 1 - \frac{t}{2}$

これを(i)に代入します。

$1 - t = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{t}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{t}{4}$

両辺を $4$ 倍して分数をなくします。

$4(1-t) = 4\left(\frac{1}{2} - \frac{t}{4}\right)$

$4 - 4t = 2 - t$

$-t$ を左辺に、$4$ を右辺に移項します。

$4 - 2 = 4t - t$

$2 = 3t$

$t = \frac{2}{3}$

これを $s = 1 - \dfrac{t}{2}$ に代入します。

$s = 1 - \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

手順5: $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を求める

$t = \dfrac{2}{3}$ を①に代入します。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \left(1 - \frac{2}{3}\right)\vec{a} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

$\mathrm{AP}:\mathrm{PM}$ について: ①の作り方から、$t$ は「$\mathrm{A}$ から $\mathrm{M}$ に向かって、線分 $\mathrm{AM}$ 全体のうちどれだけ進んだか」を表す割合でした。したがって $\mathrm{AP}:\mathrm{PM} = t : (1-t) = \dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{3} = 2 : 1$ です。

答え: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}$、$\mathrm{AP}:\mathrm{PM} = 2:1$

(補足: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})$ は、前のページで学んだ重心の公式 $\vec{g} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ において $\mathrm{O}$ が原点(位置ベクトル $\vec{0}$)である場合と一致します。実は線分 $\mathrm{AM}$、$\mathrm{BN}$ はどちらも中線であり、$\mathrm{P}$ は重心だったのです。また $\mathrm{AP}:\mathrm{PM}=2:1$ という結果は、「重心は中線を頂点から $2:1$ に内分する」という性質とも一致しています。)

$\mathrm{D}$ は $\mathrm{OA}$ の中点なので $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = \dfrac{1}{2}\vec{a}$、$\mathrm{E}$ は $\mathrm{OB}$ を $2:1$ に内分する点なので $\overrightarrow{\mathrm{OE}} = \dfrac{2}{3}\vec{b}$ です。

手順1: $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AE}$ 上にあることを使う

実数 $t$ を用いて、

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t\left(\overrightarrow{\mathrm{OE}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}\right) = \vec{a} + t\left(\frac{2}{3}\vec{b} - \vec{a}\right) = (1-t)\vec{a} + \frac{2t}{3}\vec{b} \quad \cdots \text{①}$

手順2: $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{BD}$ 上にあることを使う

実数 $s$ を用いて、

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} + s\left(\overrightarrow{\mathrm{OD}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) = \vec{b} + s\left(\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}\right) = \frac{s}{2}\vec{a} + (1-s)\vec{b} \quad \cdots \text{②}$

手順3: 係数比較

①$=$②より、$\vec{a}$、$\vec{b}$ は一次独立なので、

$1 - t = \frac{s}{2} \quad \cdots \text{(i)}$

$\frac{2t}{3} = 1 - s \quad \cdots \text{(ii)}$

手順4: 連立方程式を解く

(ii)を $s$ について解きます。

$s = 1 - \frac{2t}{3}$

これを(i)に代入します。

$1 - t = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{2t}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{t}{3}$

両辺を $6$ 倍して分数をなくします。

$6(1-t) = 6\left(\frac{1}{2} - \frac{t}{3}\right)$

$6 - 6t = 3 - 2t$

$-2t$ を左辺に、$6$ を右辺に移項します。

$6 - 3 = 6t - 2t$

$3 = 4t$

$t = \frac{3}{4}$

これを $s = 1 - \dfrac{2t}{3}$ に代入します。

$s = 1 - \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

手順5: $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を求める

$t = \dfrac{3}{4}$ を①に代入します。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \left(1 - \frac{3}{4}\right)\vec{a} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\mathrm{AP}:\mathrm{PE}$ は、①での $t$ の意味($\mathrm{A}$ から $\mathrm{E}$ への割合)から、$\mathrm{AP}:\mathrm{PE} = t:(1-t) = \dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{4} = 3:1$ です。

答え: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{4}\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}$、$\mathrm{AP}:\mathrm{PE} = 3:1$

(検算のヒント: $s=\dfrac{1}{2}$ となったことから $\mathrm{BP}:\mathrm{PD}=1:1$、つまり $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{BD}$ のちょうど中点であることもわかります。②に $s=\dfrac{1}{2}$ を代入すると $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{4}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}$ となり、①の結果と一致することも確認できます。)

$x = -\dfrac{1}{3}$、$y = \dfrac{1}{2}$

(解説: 係数比較の原理より $3x+1=0$ かつ $2y-1=0$。それぞれ解いて $x=-\dfrac{1}{3}$、$y=\dfrac{1}{2}$。)

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{2}{5}\vec{a} + \dfrac{1}{5}\vec{b}$、$\mathrm{AP}:\mathrm{PD} = 3:2$

(解説: $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = \dfrac{1}{3}\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{1}{2}\vec{a}$。$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (1-t)\vec{a}+\dfrac{t}{3}\vec{b} = \dfrac{s}{2}\vec{a}+(1-s)\vec{b}$ とおいて係数比較すると $1-t=\dfrac{s}{2}$、$\dfrac{t}{3}=1-s$ となり、これを解くと $t=\dfrac{3}{5}$、$s=\dfrac{4}{5}$。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{2}{5}\vec{a}+\dfrac{1}{5}\vec{b}$、$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)=3:2$。)

一次独立ではない(一次従属である)

(解説: $\vec{b} = (4,2) = 2 \times (2,1) = 2\vec{a}$ となり、$\vec{b}$ は $\vec{a}$ の実数倍で表せる、つまり $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行です。一次独立とは平行でないことなので、この2つは一次独立ではありません。)