展開の公式(乗法公式)

要点整理

前の単元「整式の加法・減法・乗法」では、整式どうしのかけ算は分配法則(かっこの外の項を、かっこの中のすべての項に1つずつかけていくこと)を使えば、どんな式でも展開できることを確認しました。ここでは、その中でも特によく出てくる形をあらかじめ計算しておいた「乗法公式」を紹介します。乗法公式を覚えておくと、そのつど分配法則で1つずつ計算しなくても、公式に数や文字を当てはめるだけで素早く展開できるようになります。

1. 2乗の公式

まず、$(a+b)^2$ を分配法則で展開してみましょう。$(a+b)^2$ は $(a+b)$ を2回かけ合わせたものなので、次のように書けます。

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

これを分配法則で展開します。左側の $(a+b)$ の中の $a$ と $b$ を、それぞれ右側の $(a+b)$ の中の $a$ と $b$ に1つずつかけていきます。

$(a+b)(a+b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b$

$a \times b$ と $b \times a$ は、かける順番が違うだけで同じ値なので、まとめて $2ab$ と書けます。よって、

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

という公式が得られます。同じように $(a-b)^2$ も計算してみると、

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

となります。符号(プラスかマイナスか)が変わる部分に注意してください。まとめると、次の2つが「2乗の公式」です。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

言葉で説明すると、「1項目の2乗」+「2×1項目×2項目」+「2項目の2乗」という形になります(差の場合は真ん中の項の符号がマイナスになります)。

2. 和と差の積の公式

次に、$(a+b)(a-b)$ を分配法則で展開してみます。

$(a+b)(a-b) = a \times a + a \times (-b) + b \times a + b \times (-b) = a^2 - ab + ab - b^2$

真ん中の $-ab$ と $+ab$ は、符号が反対で大きさが同じなので、たすと $0$ になって消えます。残るのは、

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

です。これを「和と差の積の公式」と呼びます。かっこの中身が「同じ2つの項の和」と「差」になっているとき、真ん中の項が消えて2乗の差だけが残る、というのがポイントです。

3. $(x+a)(x+b)$ の公式

$x$ の1次式どうしの積で、$x$ の係数(文字にかかっている数)がどちらも $1$ の場合を考えます。

$(x+a)(x+b) = x \times x + x \times b + a \times x + a \times b = x^2 + bx + ax + ab$

$bx$ と $ax$ はどちらも $x$ が1つだけ付いた項なので、係数どうしをたして1つにまとめられます。

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

「$x^2$ の係数は $1$」「$x$ の係数は $a$ と $b$ の和」「定数項(文字が付いていない項)は $a$ と $b$ の積」と覚えると使いやすくなります。

4. $(ax+b)(cx+d)$ の公式

$x$ の係数が $1$ とは限らない、もっと一般の場合です。同じように分配法則で展開すると、

$(ax+b)(cx+d) = ac\,x^2 + adx + bcx + bd = acx^2 + (ad+bc)x + bd$

となります。$x$ の係数が $ad+bc$ になる部分、つまり「外側どうしの積」と「内側どうしの積」をたす部分が計算ミスをしやすいところなので、注意しましょう。

5. 3項の和の2乗

$a+b+c$ のように3つの項の和を2乗する場合も考えてみます。$a+b$ をひとまとまりの文字のように見て、$(a+b)+c$ の2乗と考えると、先ほどの2乗の公式が使えます。

$(a+b+c)^2 = \{(a+b)+c\}^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ を代入し、$2(a+b)c = 2ac+2bc$ であることも使って整理すると、

$(a+b+c)^2 = a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

となります。「それぞれの項の2乗の和」に「異なる2つの文字の積を2倍したものすべての和」を加える、という形です。

6. 3乗の公式

$(a+b)^3$ は $(a+b)^2 \times (a+b)$ と考えられます。

$(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)$

これを分配法則で展開します。

$(a^2+2ab+b^2)(a+b) = a^2 \times a + a^2 \times b + 2ab \times a + 2ab \times b + b^2 \times a + b^2 \times b$

$= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$

$a^2b$ の項どうし($a^2b$ と $2a^2b$)、$ab^2$ の項どうし($2ab^2$ と $ab^2$)をそれぞれまとめると、

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

同じように計算すると、

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

も成り立ちます。符号がプラス・マイナス・プラス・マイナスと交互に変わる点に注意してください。

以上の公式は、これから因数分解や2次関数のグラフを学ぶときにも何度も使う、とても大切な道具です。まずは公式の形を覚え、次に「どの文字がどこに対応するか」を当てはめる練習をしていきましょう。

例題

例題1(基本)

問題

次の式を展開しなさい。

(1) $(x+3)^2$

(2) $(2a-5)^2$

(3) $(3x+4y)(3x-4y)$

解答・解説を見る

(1) 公式 $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ を使います。ここでは $a=x$、$b=3$ に対応させます。

$(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

(2) 公式 $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ を使います。ここでは $a=2a$、$b=5$ に対応させます(式の中の項の $2a$ と、公式の文字 $a$ は別のものなので、混同しないように気をつけてください)。

$(2a-5)^2 = (2a)^2 - 2 \times (2a) \times 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$

(3) 公式 $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ を使います。ここでは $a=3x$、$b=4y$ に対応させます。

$(3x+4y)(3x-4y) = (3x)^2 - (4y)^2 = 9x^2 - 16y^2$

例題2(標準)

問題

次の式を展開しなさい。

(1) $(x+6)(x-2)$

(2) $(2x+5)(3x-4)$

(3) $(a+b-3)^2$

解答・解説を見る

(1) 公式 $(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$ を使います。$(x-2)$ は $\left(x+(-2)\right)$ と考えられるので、$a=6$、$b=-2$ に対応させます。

$(x+6)(x-2) = x^2 + \left(6+(-2)\right)x + 6\times(-2) = x^2 + 4x - 12$

(2) 公式 $(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd$ を使います。$a=2$、$b=5$、$c=3$、$d=-4$ に対応させます。

まず $x^2$ の係数は $ac = 2\times3 = 6$ です。

次に $x$ の係数は $ad+bc = 2\times(-4) + 5\times3 = -8+15 = 7$ です。

最後に定数項は $bd = 5\times(-4) = -20$ です。

以上をまとめると、

$(2x+5)(3x-4) = 6x^2 + 7x - 20$

(3) $a+b$ を1つのまとまりとして見て、「$(a+b)$ から $3$ を引いたもの」の2乗と考えます。$A=a+b$ とおくと、

$(a+b-3)^2 = (A-3)^2$

公式 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(ここでの公式の文字 $a,b$ に、$A$ と $3$ をそれぞれ当てはめます)より、

$(A-3)^2 = A^2 - 2\times A\times 3 + 3^2 = A^2 - 6A + 9$

ここで $A=a+b$ をもとに戻します。$A^2 = (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ なので、

$(a+b-3)^2 = \left(a^2+2ab+b^2\right) - 6(a+b) + 9$

かっこを外して整理すると、

$(a+b-3)^2 = a^2+2ab+b^2-6a-6b+9$

例題3(応用)

問題

次の式を展開しなさい。

$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$

解答・解説を見る

4つのかっこをいきなり全部展開しようとすると大変なので、前から2つずつ組にして、和と差の積の公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を繰り返し使います。

まず、最初の2つのかっこ $(x-1)(x+1)$ に注目します。かけ算では順番を入れかえても結果は同じなので、これは $(x+1)(x-1)$ と同じであり、$a=x$、$b=1$ とした和と差の積の公式がそのまま使えます。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1^2 = x^2-1$

これを元の式に戻すと、

$(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)$

となります。次に $(x^2-1)(x^2+1)$ に注目すると、これも和と差の積の公式の形($a=x^2$、$b=1$)になっています。

$(x^2-1)(x^2+1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4-1$

これを元に戻すと、

$(x^4-1)(x^4+1)$

となります。最後にもう一度、和と差の積の公式($a=x^4$、$b=1$)を使います。

$(x^4-1)(x^4+1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8-1$

したがって、

$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) = x^8-1$

このように、和と差の積の公式は1回だけでなく、何度も繰り返して使えることがあります。かっこの形をよく観察して、公式が使える組み合わせを見つけることが応用のコツです。

練習問題

問題

次の式を展開しなさい。

$(x+3)(x-3)(x^2+9)$

答え

まず $(x+3)(x-3)$ に和と差の積の公式($a=x$、$b=3$)を使うと、

$(x+3)(x-3) = x^2-9$

これと $(x^2+9)$ をかけます。$(x^2-9)(x^2+9)$ はふたたび和と差の積の公式($a=x^2$、$b=9$)の形なので、

$(x^2-9)(x^2+9) = (x^2)^2-9^2 = x^4-81$

よって、答えは

$x^4-81$