章末問題

標準形 $y^2=4px$ と見比べると $4p=-8$ より $p=-2$ です。焦点は $(p,0)=(-2,0)$、準線は $x=-p=2$ です。

放物線の定義より、放物線上の点から焦点までの距離は、その点から準線までの距離に等しくなります。$x$ 座標が $-3$ である点から準線 $x=2$ までの距離は、

$|(-3)-2| = |-5| = 5$

答え: $5$

焦点が $x$ 軸上にあるので、標準形は $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)で、$c=3$ です。

点 $(0,4)$ を通るので、これを標準形に代入します。$x=0$、$y=4$ を代入すると、

$\frac{0^2}{a^2}+\frac{4^2}{b^2}=1$

$\frac{16}{b^2}=1$

$b^2=16$

$b>0$ なので $b=4$ です。$c^2=a^2-b^2$ の関係より、

$a^2 = b^2+c^2 = 16+9 = 25$

答え: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$

頂点が $(\pm4,0)$ なので、これは標準形 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ で、$a=4$ です。

漸近線の公式 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ と、与えられた漸近線 $y=\pm\dfrac{3}{4}x$ を見比べます。

$\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$

$a=4$ を代入します。

$\frac{b}{4} = \frac{3}{4}$

両辺に $4$ を掛けます。

$b = 3$

したがって、標準形は $a^2=16$、$b^2=9$ を代入して、

$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

焦点は $c^2=a^2+b^2=16+9=25$ より $c=5$ なので、$(\pm5,0)$ です。

答え: $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$、焦点 $(5,0)$、$(-5,0)$

$y=x+k$ を楕円の式に代入します。

$\frac{x^2}{9}+\frac{(x+k)^2}{4}=1$

両辺を $36$ 倍します。

$4x^2+9(x+k)^2=36$

$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$ なので $9(x+k)^2=9x^2+18kx+9k^2$ です。

$4x^2+9x^2+18kx+9k^2=36$

整理します。

$13x^2+18kx+9k^2-36=0$

異なる2点で交わる条件は、この2次方程式の判別式が $D>0$ となることです。$a=13$、$b=18k$、$c=9k^2-36$ として、

$D = (18k)^2-4\times13\times(9k^2-36)$

$= 324k^2 - 52(9k^2-36)$

$= 324k^2 - 468k^2+1872$

$= -144k^2+1872$

$D>0$ とおきます。

$-144k^2+1872>0$

両辺を $-144$ で割ります(不等号の向きが反転することに注意します)。

$k^2 < 13$

これより、

答え: $-\sqrt{13} < k < \sqrt{13}$

$x=3+2t$ を $t$ について解きます。両辺から $3$ を引きます。

$x-3 = 2t$

両辺を $2$ で割ります。

$t = \frac{x-3}{2}$

これを $y=1-t$ に代入します。

$y = 1-\frac{x-3}{2}$

右辺を通分します。

$y = \frac{2-(x-3)}{2} = \frac{2-x+3}{2} = \frac{5-x}{2}$

両辺を $2$ 倍します。

$2y = 5-x$

$x$ を左辺に移項します。

$x+2y = 5$

答え: $x+2y=5$(直線)

両辺に $(2+2\sin\theta)$ を掛けます。

$r(2+2\sin\theta) = 4$

左辺を展開します。

$2r+2r\sin\theta = 4$

両辺を $2$ で割ります。

$r+r\sin\theta = 2$

$r\sin\theta=y$ を代入します。

$r+y = 2$

$y$ を右辺に移項します。

$r = 2-y$

両辺は $0$ 以上なので(この式が意味を持つ範囲で)、2乗しても同値です。

$r^2 = (2-y)^2$

左辺の $r^2$ を $x^2+y^2$ に置きかえます。

$x^2+y^2 = 4-4y+y^2$

両辺から $y^2$ を引きます。

$x^2 = 4-4y$

右辺を整理します。

$x^2 = -4(y-1)$

答え: $x^2=-4(y-1)$(頂点が $(0,1)$ で下に開く放物線)

まず、$z_1z_2$ を直接計算する方法で確認します。

$z_1z_2 = (3+4i)(1-2i) = 3-6i+4i-8i^2$

$i^2=-1$ なので $-8i^2=8$ です。

$= 3-6i+4i+8 = (3+8)+(-6+4)i = 11-2i$

絶対値を求めます。

$|z_1z_2| = \sqrt{11^2+(-2)^2} = \sqrt{121+4} = \sqrt{125}$

$\sqrt{125}$ を簡単にします。$125=25\times5$ なので、

$\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

答え: $|z_1z_2|=5\sqrt{5}$

(補足: $|z_1|=\sqrt{9+16}=5$、$|z_2|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ なので、$|z_1||z_2|=5\sqrt{5}$ となり、$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ という性質が成り立っていることも確認できます。)

まず $1-i$ を極形式に直します。絶対値は、

$r = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$

偏角は、$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$ となる角なので、$\theta=-45^\circ$(または $315^\circ$)です。

$1-i = \sqrt{2}\left(\cos(-45^\circ)+i\sin(-45^\circ)\right)$

ド・モアブルの定理を適用します。

$(1-i)^6 = (\sqrt{2})^6\left(\cos(6\times(-45^\circ))+i\sin(6\times(-45^\circ))\right)$

$(\sqrt{2})^6 = \left[(\sqrt{2})^2\right]^3 = 2^3=8$ です。角度は $6\times(-45^\circ)=-270^\circ$ です。

$(1-i)^6 = 8\left(\cos(-270^\circ)+i\sin(-270^\circ)\right)$

$\cos(-270^\circ)=\cos(270^\circ)=0$、$\sin(-270^\circ)=-\sin(270^\circ)=-(-1)=1$ なので、

$(1-i)^6 = 8(0+i\times1) = 8i$

答え: $(1-i)^6=8i$

(検算: $(1-i)^2=1-2i+i^2=-2i$、$(1-i)^4=(-2i)^2=4i^2=-4$、$(1-i)^6=(1-i)^4\times(1-i)^2=(-4)\times(-2i)=8i$ となり、直接計算しても一致します。)