三角比の拡張(0°〜180°) | 高校数学まるごと解説

要点整理

前の単元(三角比の相互関係)までで、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ という鋭角の範囲について、直角三角形を使って $\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ を定義し、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ などの関係式を学んできました。ここでは、この三角比の考え方を $0^\circ$ から $180^\circ$ まで拡張していきます。

なぜ拡張が必要なのか

直角三角形には「直角(90°)」がすでに1つ入っているので、残りの角は必ず $90^\circ$ より小さくなります。つまり、直角三角形の中の角を使う限り、$90^\circ$ ちょうどや $90^\circ$ より大きい角(鈍角)を三角比の対象にすることができません。そこで、直角三角形とは違う新しい定義の方法を用意する必要があります。

座標平面と円を使った新しい定義

新しい定義では、直角三角形の代わりに「座標平面上の円」を使います。手順は次のとおりです。

座標平面の原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円をかきます($r>0$ の実数です)。
$x$ 軸の正の方向(右向き)を基準の向きとし、そこから反時計回りに角 $\theta$ だけ回転させた方向に、円周上の点 $P$ をとります。$\theta$ の範囲は $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ とします。
点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

このとき、角 $\theta$ の三角比を次のように定義します。

$\sin\theta = \frac{y}{r}, \qquad \cos\theta = \frac{x}{r}, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x}$

ここで、$y$ は点 $P$ の $y$ 座標、$x$ は点 $P$ の $x$ 座標、$r$ は原点 $O$ から点 $P$ までの距離(円の半径)を表します。$\tan\theta$ だけは $x$ を分母に使うため、$x = 0$ となる $\theta = 90^\circ$ のときは定義できません(値がありません)。

計算をらくにするために、半径を $r=1$ にとった円(これを単位円といいます)で考えることがよくあります。単位円上の点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、$r=1$ なので

$\sin\theta = y, \qquad \cos\theta = x$

となり、点 $P$ の座標そのものが $(\cos\theta, \sin\theta)$ になります。これはとても重要な見方なので覚えておきましょう。

なお、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ の範囲では、この円を使った定義は、これまで学んできた直角三角形による定義と同じ値を返します。つまり、今回の定義は「今までの定義をこわす」のではなく、「今までの定義が使えなかった $90^\circ$ 以上の角にも通用するように広げた」ものだということを押さえておいてください。

角度ごとの三角比の値

円を使った定義にもとづいて、代表的な角の三角比の値をまとめると、次のようになります。

$\theta$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$\sin\theta$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\cos\theta$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$
$\tan\theta$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	定義されない	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

この表を見ると、次のような符号の規則が読み取れます。

$\sin\theta$ は、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で常に $0$ 以上の値になります。これは、単位円の上半分($x$ 軸より上側、または $x$ 軸上)に点 $P$ があるため、$y$ 座標が常に $0$ 以上になることに対応しています。
$\cos\theta$ は、$0^\circ \leqq \theta < 90^\circ$ では正、$\theta = 90^\circ$ でちょうど $0$、$90^\circ < \theta \leqq 180^\circ$ では負になります。
$\tan\theta$ は、$0^\circ \leqq \theta < 90^\circ$($\theta \neq 0^\circ$)では正、$\theta = 0^\circ, 180^\circ$ では $0$、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ では負になります。

180°-θ の公式

表をよく見ると、$30^\circ$ と $150^\circ$、$45^\circ$ と $135^\circ$、$60^\circ$ と $120^\circ$ のように、足すと $180^\circ$ になる角どうしで、$\sin$ の値が一致していることに気づきます。これは偶然ではなく、単位円の図形的な対称性から説明できます。

角 $\theta$ に対応する単位円上の点を $P(\cos\theta, \sin\theta)$ とします。角 $180^\circ - \theta$ に対応する点は、$P$ を $y$ 軸について線対称に折り返した点になります。座標でいうと、$x$ 座標の符号だけが反転し、$y$ 座標はそのままです。この関係を式で表すと、次の公式が得られます。

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$

$\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta$

この公式を使うと、$90^\circ$ から $180^\circ$ の間の角の三角比を、対応する鋭角の三角比から求めることができます。たとえば $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ なので、$30^\circ$ の三角比がわかっていれば $150^\circ$ の三角比もすぐに求められます。

相互関係はそのまま使える

鋭角のときに学んだ次の関係式は、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$($\tan\theta$ を含む式は $\theta \neq 90^\circ$)の範囲でも、そのまま成り立ちます。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

ですから、$\sin\theta$ の値から $\cos\theta$ の値を求めるときなどは、これまでと同じように $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使うことができます。ただし、鈍角の範囲では $\cos\theta$ が負になるので、ルートを外すときの符号(プラスかマイナスか)を、$\theta$ が鋭角か鈍角かで正しく判断する必要があります。この点が、鋭角だけを扱っていたときとの一番の違いです。

例題

例題1(基本)

問題

$\sin 150^\circ$、$\cos 150^\circ$、$\tan 150^\circ$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

$150^\circ$ は $180^\circ - 30^\circ$ と表せるので、180°-θ の公式を使います。

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ は鋭角のときに学んだ値です。

$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(180^\circ-\theta) = -\cos\theta$ の公式で符号がマイナスになる点に注意します。$\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので、その符号を反転させて $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$\tan 150^\circ$ は、公式を直接使ってもよいですが、ここでは $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の関係式を使って、今求めた $\sin 150^\circ$ と $\cos 150^\circ$ から計算してみます。

$\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

分数のわり算なので、分子の $\dfrac{1}{2}$ に、分母 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の逆数 $-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\tan 150^\circ = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

最後に、分母に根号が残らないように分母を有理化します。分子と分母の両方に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

よって、答えは次のとおりです。

$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

例題2(標準)

問題

$\theta$ は鈍角で、$\sin\theta = \dfrac{1}{3}$ であるとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

「$\theta$ は鈍角」とは、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ ということです。この範囲では $\cos\theta$ の値が負になることを、まず頭に入れておきます。

まず、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係式を使って $\cos^2\theta$ を求めます。この式を $\cos^2\theta$ について解くと、次のようになります。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$

ここに $\sin\theta = \dfrac{1}{3}$ を代入します。

$\cos^2\theta = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9}$

$1$ を分母が $9$ の分数に直してから引き算します。$1 = \dfrac{9}{9}$ なので、

$\cos^2\theta = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

両辺の平方根をとると、$\cos\theta$ の値の候補は次の2つになります。

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

途中で $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ という根号の変形を使いました。

ここで、$\theta$ は鈍角なので $\cos\theta < 0$ でなければなりません。したがって、プラスの候補は捨てて、次のように決まります。

$\cos\theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の関係式を使って $\tan\theta$ を求めます。

$\tan\theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}$

分子・分母がどちらも分母 $3$ を持つ分数なので、その $3$ は約分できます。

$\tan\theta = \frac{1}{3} \times \left(-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$

最後に分母を有理化します。分子・分母の両方に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\tan\theta = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2 \times 2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

よって、答えは次のとおりです。

$\cos\theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}, \qquad \tan\theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

例題3(応用)

問題

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、$4\cos^2\theta - 1 = 0$ を満たす $\theta$ をすべて求めなさい。また、それぞれの $\theta$ に対する $\sin\theta$ の値も求めなさい。

解答・解説を見る

まず、$\cos\theta$ についての方程式として整理します。$4\cos^2\theta - 1 = 0$ の両辺に $1$ を足すと、

$4\cos^2\theta = 1$

両辺を $4$ で割ると、

$\cos^2\theta = \frac{1}{4}$

両辺の平方根をとると、$\cos\theta$ の値の候補は次の2つです。

$\cos\theta = \pm\frac{1}{2}$

つまり、$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ の場合と $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ の場合の、2つに分けて考える必要があります。

(i) $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ のとき

角度ごとの三角比の値の表から、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ となるのは $\theta = 60^\circ$ です。

(ii) $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ のとき

同じく表から、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ となるのは $\theta = 120^\circ$ です。

したがって、求める $\theta$ は次の2つです。

$\theta = 60^\circ, \ 120^\circ$

次に、それぞれの $\theta$ に対する $\sin\theta$ を求めます。$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

これは $\theta = 60^\circ$ でも $\theta = 120^\circ$ でも、$\cos^2\theta = \dfrac{1}{4}$ という同じ値を使うので、同じ結果になります。両辺の平方根をとると、

$\sin\theta = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

ここで、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲では $\sin\theta$ は常に $0$ 以上になることを思い出します。したがって、マイナスの候補は起こりえないので捨てて、

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

となります。これは $\theta = 60^\circ$ のときも $\theta = 120^\circ$ のときも同じ値です(実際、表で確認しても $\sin 60^\circ = \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となっています)。

よって、答えは次のとおりです。

$\theta = 60^\circ \text{ のとき } \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \theta = 120^\circ \text{ のとき } \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

練習問題

問題

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、$\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求めなさい。また、そのときの $\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値も求めなさい。

答え

$\theta = 150^\circ$

$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$

$\tan\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

(考え方: 角度ごとの三角比の値の表で $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる角を探すと $\theta = 150^\circ$ です。そのときの $\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}$ で、$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ となります。)