複素数の極形式とド・モアブルの定理

要点整理

複素数 $z=a+bi$ は、直交座標のように「実部 $a$」「虚部 $b$」で表す以外に、複素数平面上での「原点からの距離」と「角度」を使って表すこともできます。この表し方を極形式といい、複素数の掛け算・割り算・累乗の計算をとても簡単にしてくれます。

極形式とは

複素数 $z=a+bi$($z\neq0$)を複素数平面上の点 $(a,b)$ として考え、原点からの距離を $r$、実軸の正の向きから反時計回りに測った角度を $\theta$ とします。前のページで学んだ極座標の変換 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ と同じ考え方から、

$a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta$

なので、$z=a+bi$ に代入すると、

$z = r\cos\theta + (r\sin\theta)i = r(\cos\theta+i\sin\theta)$

これが $z$ の極形式です。ここで $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ であり、$\theta$ を $z$ の偏角といい、$\arg z$ と書きます。偏角は $360^\circ$($2\pi$ ラジアン)を加えても同じ複素数を表すので、通常は $0^\circ\leq\theta<360^\circ$(または $0\leq\theta<2\pi$)の範囲で答えます。

極形式どうしの積

$z_1 = r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$、$z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$ の積 $z_1z_2$ を計算してみましょう。

$z_1z_2 = r_1r_2(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$

かっこの中を展開します(文字式の展開と同じ要領です)。

$(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) = \cos\theta_1\cos\theta_2 + i\cos\theta_1\sin\theta_2 + i\sin\theta_1\cos\theta_2 + i^2\sin\theta_1\sin\theta_2$

$i^2=-1$ を使って整理します。

$= (\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2) + i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)$

ここで、数学IIで学んだ三角関数の加法定理

$\cos(\theta_1+\theta_2) = \cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2, \qquad \sin(\theta_1+\theta_2) = \sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2$

を思い出すと、上の式はちょうどこの形をしていることがわかります。したがって、

$z_1z_2 = r_1r_2\left[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right]$

極形式どうしの積は、絶対値どうしを掛け算し、偏角どうしを足し算すればよい、ということがわかりました。図形的には、$z_1$ に $z_2$ を掛けることは、「$z_1$ を原点のまわりに角 $\theta_2$ だけ回転させ、原点からの距離を $r_2$ 倍する」という操作にあたります。

同じように考えると、商については、

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right]$

となります(絶対値どうしを割り算し、偏角どうしを引き算します)。

ド・モアブルの定理

積の公式を繰り返し使うと、累乗の計算がとても簡単になります。たとえば、$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ の2乗を、積の公式で $z_1=z_2=z$ として計算すると、

$z^2 = r\cdot r\left[\cos(\theta+\theta)+i\sin(\theta+\theta)\right] = r^2(\cos2\theta+i\sin2\theta)$

さらに $z^3=z^2\cdot z$ を計算すると、

$z^3 = r^2\cdot r\left[\cos(2\theta+\theta)+i\sin(2\theta+\theta)\right] = r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)$

このパターンを繰り返していくと、正の整数 $n$ について、次の定理が成り立つことがわかります。

ド・モアブルの定理: 正の整数 $n$ について、

$\left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$

特に $r=1$ のときは、$(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta+i\sin n\theta$ となる。

(この定理は、$n=1$ のときに成り立つことを確認し、$n=k$ のとき成り立つと仮定すると $n=k+1$ のときも積の公式によって成り立つ、という数学的帰納法によって、すべての正の整数について証明できます。また、$n=0$ や負の整数、有理数についても、形を拡張して定理が成り立つことが知られています。)

ド・モアブルの定理を使うと、複素数の高い累乗を、極形式に直してから一気に計算できるようになります。

例題

例題1(基本)

問題

$z=1+i$ を極形式で表しなさい。

解答・解説を見る

まず $r=|z|$ を求めます。

$r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$

次に偏角 $\theta$ を求めます。$\cos\theta = \dfrac{a}{r}$、$\sin\theta=\dfrac{b}{r}$ に、$a=1$、$b=1$、$r=\sqrt{2}$ を代入します。

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0\leq\theta<2\pi$ の範囲で、$\cos\theta=\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となる角は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ です。

答え: $z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$

例題2(標準)

問題

$z_1 = 2(\cos50^\circ+i\sin50^\circ)$、$z_2=3(\cos20^\circ+i\sin20^\circ)$ とするとき、$z_1z_2$ と $\dfrac{z_1}{z_2}$ を極形式で求めなさい。

解答・解説を見る

積の公式 $z_1z_2 = r_1r_2\left[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right]$ を使います。絶対値どうしを掛け算し、偏角どうしを足し算します。

$r_1r_2 = 2\times3 = 6, \qquad \theta_1+\theta_2 = 50^\circ+20^\circ = 70^\circ$

$z_1z_2 = 6(\cos70^\circ+i\sin70^\circ)$

商の公式 $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right]$ を使います。絶対値どうしを割り算し、偏角どうしを引き算します。

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}, \qquad \theta_1-\theta_2 = 50^\circ-20^\circ = 30^\circ$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3}(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)$

答え: $z_1z_2 = 6(\cos70^\circ+i\sin70^\circ)$、$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2}{3}(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)$

例題3(応用)

問題

ド・モアブルの定理を用いて、$(1+i)^8$ を計算しなさい。

解答・解説を見る

まず $1+i$ を極形式に直します。例題1の結果より、

$1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

ド・モアブルの定理 $\left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ を、$r=\sqrt{2}$、$\theta=\dfrac{\pi}{4}$、$n=8$ として適用します。

$(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8\left(\cos\left(8\times\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(8\times\frac{\pi}{4}\right)\right)$

まず $(\sqrt{2})^8$ を計算します。$(\sqrt{2})^2=2$ なので、$(\sqrt{2})^8 = \left[(\sqrt{2})^2\right]^4 = 2^4 = 16$ です。

次に角度を計算します。$8\times\dfrac{\pi}{4} = 2\pi$ です。

$(1+i)^8 = 16(\cos2\pi+i\sin2\pi)$

$\cos2\pi=1$、$\sin2\pi=0$ なので、

$(1+i)^8 = 16(1+i\times0) = 16$

答え: $(1+i)^8 = 16$

(検算: $(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$、$(1+i)^4=(2i)^2=4i^2=-4$、$(1+i)^8=(-4)^2=16$ となり、直接計算しても一致します。)

練習問題

問題1

$z=-\sqrt{3}+i$ を極形式で表しなさい。

答え

$z = 2\left(\cos150^\circ+i\sin150^\circ\right)$

(解説: $r=\sqrt{3+1}=2$。$\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ となる角は $\theta=150^\circ$。)

問題2

$z_1=4(\cos80^\circ+i\sin80^\circ)$、$z_2=2(\cos35^\circ+i\sin35^\circ)$ とするとき、$z_1z_2$ と $\dfrac{z_1}{z_2}$ を極形式で求めなさい。

答え

$z_1z_2 = 8(\cos115^\circ+i\sin115^\circ)$、$\dfrac{z_1}{z_2}=2(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)$

問題3

ド・モアブルの定理を用いて、$(\sqrt{3}+i)^6$ を計算しなさい。

答え

$-64$

(解説: $\sqrt{3}+i = 2\left(\cos30^\circ+i\sin30^\circ\right)$。$(\sqrt{3}+i)^6 = 2^6(\cos180^\circ+i\sin180^\circ)=64\times(-1)=-64$。)