位置ベクトルと図形への応用

要点整理

位置ベクトルとは

平面上に基準となる点 $\mathrm{O}$(原点)を1つ決めておくと、平面上のどんな点 $\mathrm{P}$ も、$\mathrm{O}$ から $\mathrm{P}$ へのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ によって表すことができます。この $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を、点 $\mathrm{P}$ の位置ベクトルといい、小文字 $\vec{p}$ で表すことがよくあります。つまり、

$\vec{p} = \overrightarrow{\mathrm{OP}}$

という対応です。このように、点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ と表す、という書き方をこれから多用します。

位置ベクトルを使うと、2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を結ぶベクトルは、

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a}$

と表せます。これは「ベクトルの基本」のページで学んだ、始点をそろえたときの引き算の公式 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ そのものです。「(終点の位置ベクトル)$-$(始点の位置ベクトル)」という形を覚えておきましょう。

内分点の位置ベクトル

線分 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{P}$ が、$\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n$ を満たすとき、$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分するといいます。このとき、$\mathrm{P}$ の位置ベクトル $\vec{p}$ を、$\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表す公式を作ります。

$\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n$ ということは、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ に向かって、全体を $m+n$ 個に分けたうちの $m$ 個分だけ進んだ点だということです。したがって、

$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

が成り立ちます。左辺は位置ベクトルを使うと $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \vec{p} - \vec{a}$、右辺の $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a}$ なので、

$\vec{p} - \vec{a} = \frac{m}{m+n}(\vec{b} - \vec{a})$

右辺を展開します。

$\vec{p} - \vec{a} = \frac{m}{m+n}\vec{b} - \frac{m}{m+n}\vec{a}$

両辺に $\vec{a}$ を加えます。

$\vec{p} = \vec{a} - \frac{m}{m+n}\vec{a} + \frac{m}{m+n}\vec{b}$

$\vec{a}$ の係数をまとめます。$\vec{a}$ の係数は $1 - \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{(m+n) - m}{m+n} = \dfrac{n}{m+n}$ です。

$\vec{p} = \frac{n}{m+n}\vec{a} + \frac{m}{m+n}\vec{b} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$

これが内分点の公式です。分母が $m+n$、分子は $\vec{a}$ に相手側の比 $n$、$\vec{b}$ に相手側の比 $m$ をかけて足す、という「たすき掛け」のような形になっている点に注目すると覚えやすいです。

特に、$m=n=1$ のとき($\mathrm{P}$ が中点 $\mathrm{M}$ のとき)は、

$\vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}}{1+1} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

となり、「ベクトルの基本」のページで学んだ中点の公式と一致します。

外分点の位置ベクトル

線分 $\mathrm{AB}$ の延長線上(線分の外側)にある点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n$($m \neq n$)を満たすとき、$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に外分するといいます。

外分点では、$\mathrm{P}$ が線分の外にあるため、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ は同じ向きですが、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ の大きさが $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ より大きくなったり(比が $m>n$ のとき、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{B}$ の先にある)、逆向きに近い位置になったりします。詳しい図形的な議論は省略し、結果だけ内分点の公式と対応づけて覚えましょう。外分点の公式は、内分点の公式の $n$ を $-n$ に置きかえたものになります。

$\vec{p} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}$

内分点の公式の分母が $m+n$ だったのに対し、外分点は分母が $m-n$ になる点、そして分子の $\vec{a}$ の係数の符号が反転する点に注意しましょう。

三角形の重心の位置ベクトル

$\triangle \mathrm{ABC}$ において、各頂点から向かい合う辺の中点を結んだ線分を中線といい、3本の中線は1点で交わります。この交点を重心といい、$\mathrm{G}$ と書くのが慣例です。重心は、それぞれの中線を頂点側から $2:1$ に内分する点であることが知られています。

$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ の位置ベクトルを $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ とし、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると、中点の公式より $\mathrm{M}$ の位置ベクトルは $\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ です。

重心 $\mathrm{G}$ は、線分 $\mathrm{AM}$ を $\mathrm{A}$ から $2:1$ に内分する点なので、内分点の公式($m=2$、$n=1$、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{M}$ の間の内分)を使うと、

$\vec{g} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}}{2+1} = \frac{\vec{a} + (\vec{b}+\vec{c})}{3} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

したがって、

$\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

「3つの頂点の位置ベクトルを足して3で割る」という、とても覚えやすい形になっています。

3点が一直線上にある条件(共線条件)

異なる3点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ が一直線上にある(このことを「共線である」といいます)ための条件は、

$\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k\overrightarrow{\mathrm{AB}} \text{ となる実数 } k \text{ が存在すること}$

です。これは、「ベクトルの基本」のページで学んだ平行条件($\overrightarrow{\mathrm{AC}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{AB}}$)と同じ考え方です。$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ が平行で、しかも同じ点 $\mathrm{A}$ を共有しているので、3点が一直線上に並ぶのです。

例題

例題1(基本)

問題

$\mathrm{A}(1, 2)$、$\mathrm{B}(7, 5)$ とする。線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点 $\mathrm{P}$ と、$2:1$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めなさい。

解答・解説を見る

$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の位置ベクトルを $\vec{a} = (1,2)$、$\vec{b} = (7,5)$ とします。

内分点 $\mathrm{P}$ は $m=2$、$n=1$ として、内分点の公式 $\vec{p} = \dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$ に代入します。

$\vec{p} = \frac{1 \cdot (1,2) + 2 \cdot (7,5)}{2+1}$

分子を計算します。$1\cdot(1,2) = (1,2)$、$2\cdot(7,5) = (14,10)$ なので、

$\vec{p} = \frac{(1,2)+(14,10)}{3} = \frac{(15,12)}{3} = (5, 4)$

外分点 $\mathrm{Q}$ は $m=2$、$n=1$ として、外分点の公式 $\vec{p} = \dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$ に代入します。

$\vec{q} = \frac{-1 \cdot (1,2) + 2 \cdot (7,5)}{2-1}$

分子を計算します。$-1\cdot(1,2) = (-1,-2)$、$2\cdot(7,5)=(14,10)$ なので、

$\vec{q} = \frac{(-1,-2)+(14,10)}{1} = (13, 8)$

答え: $\mathrm{P}(5, 4)$、$\mathrm{Q}(13, 8)$

例題2(標準)

問題

$\triangle \mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ を $3:2$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とする。$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ とするとき、$\mathrm{D}$ の位置ベクトル $\vec{d}$ を $\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いて表しなさい。

解答・解説を見る

$\mathrm{D}$ は線分 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{B}$ から $\mathrm{C}$ に向かって $3:2$ に内分する点です。内分点の公式 $\vec{p} = \dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$ において、線分の両端を $\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ に置きかえ、比を $m:n = 3:2$ とします。つまり、公式の $\vec{a}$ を $\vec{b}$ に、$\vec{b}$ を $\vec{c}$ に読みかえて使います。

$\vec{d} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{3+2} = \frac{2\vec{b}+3\vec{c}}{5}$

答え: $\vec{d} = \dfrac{2\vec{b}+3\vec{c}}{5} = \dfrac{2}{5}\vec{b} + \dfrac{3}{5}\vec{c}$

例題3(応用)

問題

四角形 $\mathrm{ABCD}$ の辺 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{BC}$、$\mathrm{CD}$、$\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$、$\mathrm{S}$ とする。このとき、四角形 $\mathrm{PQRS}$ は平行四辺形になることを、位置ベクトルを使って証明しなさい。

解答・解説を見る

$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$ とします。$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$、$\mathrm{S}$ はそれぞれの辺の中点なので、中点の公式より、

$\vec{p} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}, \quad \vec{q} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}, \quad \vec{r} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}, \quad \vec{s} = \frac{\vec{d}+\vec{a}}{2}$

四角形 $\mathrm{PQRS}$ が平行四辺形であることを示すには、1組の対辺、たとえば $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{SR}}$ が等しいこと($\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overrightarrow{\mathrm{SR}}$)を示せば十分です(これは「ベクトルの基本」の例題1で確認した、平行四辺形になるための条件です)。

まず $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ を計算します。「(終点の位置ベクトル)$-$(始点の位置ベクトル)」の公式より、

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

分母が同じ $2$ なので、分子どうしを引き算します。

$= \frac{(\vec{b}+\vec{c}) - (\vec{a}+\vec{b})}{2} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}-\vec{b}}{2}$

$\vec{b}$ と $-\vec{b}$ が打ち消し合うので、

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{\vec{c}-\vec{a}}{2}$

次に $\overrightarrow{\mathrm{SR}}$ を計算します。

$\overrightarrow{\mathrm{SR}} = \vec{r} - \vec{s} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} - \frac{\vec{d}+\vec{a}}{2} = \frac{(\vec{c}+\vec{d})-(\vec{d}+\vec{a})}{2}$

$\vec{d}$ と $-\vec{d}$ が打ち消し合うので、

$\overrightarrow{\mathrm{SR}} = \frac{\vec{c}-\vec{a}}{2}$

したがって、

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overrightarrow{\mathrm{SR}} = \frac{\vec{c}-\vec{a}}{2}$

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overrightarrow{\mathrm{SR}}$ が示されたので、四角形 $\mathrm{PQRS}$ は1組の対辺が平行かつ長さが等しい四角形、すなわち平行四辺形です。(証明終わり)

この結果は、もとの四角形 $\mathrm{ABCD}$ がどんな形(たとえ凹んだ四角形)であっても成り立つ、位置ベクトルの威力がよくわかる例です。

練習問題

問題1

$\mathrm{A}(2, -1)$、$\mathrm{B}(8, 5)$ とする。線分 $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分する点の座標を求めなさい。

答え

$(4, 1)$

(解説: $m=1$、$n=2$ として $\vec{p} = \dfrac{2(2,-1)+1(8,5)}{1+2} = \dfrac{(4,-2)+(8,5)}{3} = \dfrac{(12,3)}{3} = (4,1)$。)

問題2

$\triangle \mathrm{ABC}$ の3頂点の位置ベクトルが $\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,-1)$、$\vec{c}=(-2,5)$ であるとき、重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトルを求めなさい。

答え

$\vec{g} = \left(\dfrac{2}{3}, 2\right)$

(解説: $\vec{g} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \dfrac{(1+3-2,\ 2-1+5)}{3} = \dfrac{(2,6)}{3} = \left(\dfrac{2}{3},2\right)$。)

問題3

位置ベクトルが $\vec{a}=(1,1)$、$\vec{b}=(3,5)$、$\vec{c}=(5,9)$ である3点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ は一直線上にあることを示しなさい。

答え

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b}-\vec{a} = (2,4)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{c}-\vec{a} = (4,8)$。$(4,8) = 2\times(2,4)$ なので $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ が成り立ち、共線条件を満たすので3点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ は一直線上にあります。