いろいろな関数の不定積分

要点整理

数学IIでは、微分の逆の操作である不定積分を学びました。関数 $f(x)$ に対して、微分すると $f(x)$ になるような関数 $F(x)$($F'(x)=f(x)$)を原始関数といい、原始関数の全体を

$\int f(x)\,dx = F(x)+C$

と表しました($C$ は積分定数)。数学IIでは主に多項式の不定積分($\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$、$n$ は $0$ 以上の整数)を扱いましたが、数学IIIでは、微分法で学んだ三角関数・指数関数・対数関数の公式を「逆向きに読む」ことで、これらの不定積分を求められるようになります。

べき関数の不定積分(指数の拡張)

微分法のページで、$(x^n)'=nx^{n-1}$ という公式は、$n$ が負の数や分数であっても成り立つことを学びました。この事実を逆向きに使うと、

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1)$

という公式が、$n$ が負の数や分数の場合にも(そして $n=-1$ 以外であれば)そのまま使えることが分かります。$n=-1$ のとき($x^0=1$ の形になり、この公式では分母が $0$ になって使えない)だけは、次に説明する特別な公式が必要です。

$\dfrac{1}{x}$ の不定積分は $\log|x|+C$

$n=-1$ のとき、つまり $\dfrac{1}{x}$ の不定積分は、次のようになります。

$\int\frac{1}{x}\,dx = \log|x|+C$

対数の中に絶対値が付いていることに注意してください。これは、$\dfrac{1}{x}$ が $x<0$ でも定義されている(円グラフの左半分でも意味を持つ)一方、$\log x$ は $x>0$ でしか定義されないため、$x<0$ の範囲もカバーできるように絶対値を付ける必要があるからです。実際にこの公式が正しいことを確認してみましょう。

• $x>0$ のとき:$\log|x|=\log x$ なので、$(\log|x|)' = (\log x)' = \dfrac{1}{x}$
• $x<0$ のとき:$\log|x|=\log(-x)$ です。$u=-x$($u>0$)とおいて連鎖律を使うと、$(\log(-x))' = \dfrac{1}{-x}\times(-x)' = \dfrac{1}{-x}\times(-1) = \dfrac{1}{x}$

どちらの場合($x>0$ でも $x<0$ でも)、$\log|x|$ を微分すると $\dfrac{1}{x}$ になることが確認できました。したがって、$\dfrac{1}{x}$ の原始関数は $\log|x|+C$ です。

三角関数・指数関数の不定積分

微分法の公式 $(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$、$(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$、$(e^x)'=e^x$、$(a^x)'=a^x\log a$ を、それぞれ逆向きに読むことで、次の不定積分の公式が得られます。

$\int\sin x\,dx = -\cos x+C\qquad(\text{微分すると}-(-\sin x)=\sin x\text{になることを確認})$

$\int\cos x\,dx = \sin x+C$

$\int\frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x+C$

$\int e^x\,dx = e^x+C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a}+C\quad(a>0,\ a\neq 1)$

最後の公式は、$(a^x)'=a^x\log a$ の両辺を $\log a$(定数)で割ると $\left(\dfrac{a^x}{\log a}\right)'=a^x$ となることから導けます。

これらの公式と、数学IIで学んだ「定数倍・和・差はそのまま分配してよい」という性質($\int\{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\int f(x)\,dx+l\int g(x)\,dx$、$k,l$ は定数)を組み合わせれば、いろいろな関数の不定積分を求めることができます。

例題

例題1(基本)

問題

次の不定積分を求めなさい。

$\int\left(x^3-\frac{2}{x^2}\right)dx$

解答・解説を見る

$-\dfrac{2}{x^2}$ を、負の指数を使って累乗の形に書き直します。

$-\frac{2}{x^2} = -2x^{-2}$

それぞれの項を、べき関数の不定積分の公式 $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ を使って積分します。

$\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}$

$\int(-2x^{-2})\,dx = -2\times\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -2\times\frac{x^{-1}}{-1} = 2x^{-1} = \frac{2}{x}$

2つの結果を足し合わせ、最後に積分定数 $C$ を付けます。

$\int\left(x^3-\frac{2}{x^2}\right)dx = \frac{x^4}{4}+\frac{2}{x}+C$

答え:$\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2}{x}+C$

(検算:$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2}{x}\right)=x^3+2\times(-x^{-2})=x^3-\dfrac{2}{x^2}$ となり、元の式に一致します。)

例題2(標準)

問題

次の不定積分を求めなさい。

$\int\left(\frac{1}{x}+e^x\right)dx$

解答・解説を見る

それぞれの項を、対応する公式で積分します。

$\int\frac{1}{x}\,dx = \log|x|+C_1$

$\int e^x\,dx = e^x+C_2$

2つを足し合わせ、積分定数はまとめて $C$ とします。

$\int\left(\frac{1}{x}+e^x\right)dx = \log|x|+e^x+C$

答え:$\log|x|+e^x+C$

例題3(応用)

問題

次の不定積分を求めなさい。

$\int\left(\frac{2}{x}-3\sin x+4^x\right)dx$

解答・解説を見る

3つの項に分けて、それぞれ積分します。

第1項

$\int\frac{2}{x}\,dx = 2\int\frac{1}{x}\,dx = 2\log|x|$

第2項

$\int(-3\sin x)\,dx = -3\int\sin x\,dx = -3\times(-\cos x) = 3\cos x$

第3項

指数関数の公式 $\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\log a}+C$ に $a=4$ を当てはめます。

$\int 4^x\,dx = \frac{4^x}{\log 4}$

3つの結果を足し合わせ、積分定数 $C$ を付けます。

$\int\left(\frac{2}{x}-3\sin x+4^x\right)dx = 2\log|x|+3\cos x+\frac{4^x}{\log 4}+C$

答え:$2\log|x|+3\cos x+\dfrac{4^x}{\log 4}+C$

(検算:これを微分すると $\dfrac{2}{x}+3\times(-\sin x)+4^x=\dfrac{2}{x}-3\sin x+4^x$ となり、元の式に一致します。)

練習問題

問題1

次の不定積分を求めなさい。

$\int\left(x^2-\frac{3}{x}\right)dx$

答え

$\dfrac{x^3}{3}-3\log|x|+C$ です。

問題2

次の不定積分を求めなさい。

$\int\left(\cos x+\frac{1}{\cos^2 x}\right)dx$

答え

$\sin x+\tan x+C$ です。