部分積分法

$f(x)=x$(微分すると簡単になる)、$g'(x)=\sin x$(積分しやすい)とおきます。

$f'(x) = 1,\qquad g(x) = \int\sin x\,dx = -\cos x$

部分積分法の公式 $\int fg'\,dx=fg-\int f'g\,dx$ に代入します。

$\int x\sin x\,dx = x\times(-\cos x) - \int 1\times(-\cos x)\,dx$

$= -x\cos x + \int\cos x\,dx$

$= -x\cos x + \sin x + C$

答え:$-x\cos x+\sin x+C$

$x^2$ は次数が2なので、部分積分法を2回繰り返して次数を下げていきます。

1回目の部分積分

$f(x)=x^2$、$g'(x)=e^x$ とおきます。

$f'(x)=2x,\qquad g(x)=e^x$

$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - \int 2xe^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$

2回目の部分積分($\int xe^x\,dx$ を計算する)

$f(x)=x$、$g'(x)=e^x$ とおきます。

$f'(x)=1,\qquad g(x)=e^x$

$\int xe^x\,dx = xe^x - \int 1\times e^x\,dx = xe^x-e^x$

結果を代入する

$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2(xe^x-e^x) = x^2e^x-2xe^x+2e^x$

共通因数 $e^x$ でくくると、

$\int x^2e^x\,dx = e^x(x^2-2x+2)+C$

答え:$e^x(x^2-2x+2)+C$

$\log x$ の積分は、掛け算の形になっていないので、部分積分法が使えないように見えます。しかし、$\log x=\log x\times 1$ とみなすことで、部分積分法が使えるようになります。$f(x)=\log x$、$g'(x)=1$ とおきます。

$f'(x) = \frac{1}{x},\qquad g(x) = \int 1\,dx = x$

部分積分法の公式に代入します。

$\int\log x\,dx = (\log x)\times x - \int\frac{1}{x}\times x\,dx$

$= x\log x - \int 1\,dx$

$= x\log x - x + C$

答え:$x\log x-x+C$

(検算:$\dfrac{d}{dx}(x\log x-x)=\log x+x\times\dfrac{1}{x}-1=\log x+1-1=\log x$ となり、元の式に一致します。)

$f=x$、$g'=\cos x$ として $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$ です。

$f=x$、$g'=e^{2x}$(このとき $g=\dfrac{e^{2x}}{2}$)として、$\int xe^{2x}\,dx=\dfrac{xe^{2x}}{2}-\int\dfrac{e^{2x}}{2}\,dx=\dfrac{xe^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+C$ です。