数学A / 場合の数と確率
条件付き確率とベイズの考え方
要点整理
これまで「独立試行の確率」で学んだのは、2つの試行がお互いに影響しない場合の確率の計算でした。ここではその考え方をさらに広げて、一方の事象が起こったという情報を知ったときに、確率がどう変わるかを考えます。
条件付き確率とは何か
たとえば、1個のさいころを1回投げるとき、「出た目が偶数である」とだけ聞かされたとします。このとき、目の候補は $\{2, 4, 6\}$ の3通りに絞られます。この絞り込まれた状況のもとで「出た目が4以上である確率」を考えると、候補3通りのうち4以上は $\{4, 6\}$ の2通りなので、確率は $\dfrac{2}{3}$ になります。もとの(絞り込む前の)「出た目が4以上である確率」は $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ でしたから、情報を得たことで確率の値が変わったことがわかります。
このように、事象Aが起こったという条件のもとで、事象Bが起こる確率のことを「Aが起こったときのBの起こる条件付き確率」といい、
$P_A(B)$
という記号で表します。$A$ を右下に小さく書くのは、「$A$ が起こったという条件のもとで」という意味です。読むときは「エー・ピー・ビー」ではなく「Aのもとでの、Bの確率」のように読むと意味を忘れません。
条件付き確率は、次の式で計算できます。$A \cap B$ は「AとBがどちらも起こる」という事象(共通部分)を表す記号でした。
$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (\text{ただし } P(A) \neq 0)$
この式の意味を言葉で確認しましょう。分母の $P(A)$ は「まずAが起こる確率」、分子の $P(A \cap B)$ は「AとBが両方起こる確率」です。全体をAが起こった世界だけに絞り込んで、その中でBも起こっている割合を計算しているのがこの式です。
先ほどのさいころの例で確かめてみます。$A$:「偶数の目が出る」、$B$:「4以上の目が出る」とすると、
- $A = \{2, 4, 6\}$ なので $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
- $A \cap B = \{2,4,6\} \cap \{4,5,6\} = \{4, 6\}$ なので $P(A \cap B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
したがって、
$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{3}$
となり、最初に数え上げで求めた $\dfrac{2}{3}$ と一致しました。
乗法定理
条件付き確率の定義の式
$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
の両辺に $P(A)$ をかけると、次の式が得られます。
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
これを確率の乗法定理といいます。「AとBが両方起こる確率」は、「まずAが起こる確率」と「Aが起こったという条件のもとでBが起こる確率」をかけ算すれば求められる、という意味です。これは「Aが起こる」→「その次にBが起こる」という2段階の出来事を順番にたどる式になっているので、くじ引きのように玉を取り出していく問題や、後で説明する「原因のふりわけ」を考える問題でとても役に立ちます。
なお、AとBが独立(お互いに影響しない)ならば、Aが起こったかどうかでBの起こりやすさは変わらないので $P_A(B) = P(B)$ となり、乗法定理は独立試行のところで学んだ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ に一致します。つまり乗法定理は、独立でない場合も含めた、より一般的な公式なのです。
ベイズの考え方
条件付き確率の考え方をもう一歩進めると、「結果から原因をさかのぼる」という面白い問題が解けるようになります。
たとえば、「くじを箱Aから引いたか、箱Bから引いたかは見ていないけれど、引いた玉が白玉だったことだけはわかっている。このとき、それが箱Aから引かれたものである確率はどれくらいか」というタイプの問題です。原因(どちらの箱から引いたか)は2通りに分かれていて、そのあとに結果(白玉が出た)が起こる、という流れを逆向きにたどることになります。
このような「原因が複数あって、そのどれか一つから結果が起こる」という状況を、原因を $E_1$、$E_2$ の2つとし、結果を $W$ として整理してみましょう。$E_1$、$E_2$ は同時には起こらず、どちらか一方が必ず起こるものとします。
まず、結果 $W$ が起こる確率は、「原因が $E_1$ で、かつ $W$ が起こる」場合と、「原因が $E_2$ で、かつ $W$ が起こる」場合の2通りの起こり方を足し合わせたものになります。乗法定理を使うと、それぞれは
$P(E_1 \cap W) = P(E_1) \times P_{E_1}(W), \qquad P(E_2 \cap W) = P(E_2) \times P_{E_2}(W)$
と表せるので、
$P(W) = P(E_1)P_{E_1}(W) + P(E_2)P_{E_2}(W)$
となります。この上で、「$W$ が起こったという条件のもとで $E_1$ が起こっている確率」$P_W(E_1)$ を、条件付き確率の定義にしたがって計算すると、
$P_W(E_1) = \frac{P(E_1 \cap W)}{P(W)} = \frac{P(E_1)P_{E_1}(W)}{P(E_1)P_{E_1}(W) + P(E_2)P_{E_2}(W)}$
という式が得られます。これがベイズの定理です。式だけを見ると複雑に感じますが、やっていることは「分子で、原因が $E_1$ だった場合の確率だけを取り出し」「分母で、結果 $W$ が起こる確率の全体(すべての原因からの合計)で割る」という、ごく自然な操作です。実際の問題を解くときは、この式を丸暗記するよりも、乗法定理を2回使って分子・分母をそれぞれ計算し、最後に割り算をするという手順で考えると迷いません。
例題
例題1(基本)
問題
1個のさいころを1回投げる。出た目が偶数であるという事象を $A$、出た目が3以上であるという事象を $B$ とする。$A$ が起こったときに $B$ が起こる条件付き確率 $P_A(B)$ を求めよ。
解答・解説を見る
さいころの目の出方は $1$ から $6$ までの $6$ 通りで、どの目も同様に確からしい(起こりやすさが同じ)とします。
ステップ1:事象A、Bを具体的に書き出す
$A$:「偶数の目が出る」なので、$A = \{2, 4, 6\}$ です。
$B$:「3以上の目が出る」なので、$B = \{3, 4, 5, 6\}$ です。
ステップ2:P(A) を求める
$A$ に含まれる目は $3$ 個なので、
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
ステップ3:A∩B を求めて P(A∩B) を計算する
$A \cap B$ は「$A$ にも $B$ にも入っている目」なので、
$A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \{4, 6\}$
含まれる目は $2$ 個なので、
$P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
ステップ4:条件付き確率の定義式に当てはめる
$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2}}$
分数を分数で割る計算は、割る数(下の分数)の逆数をかけます。
$P_A(B) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{3}$
したがって、$P_A(B) = \dfrac{2}{3}$ です。
例題2(標準)
問題
大きいさいころと小さいさいころを1個ずつ同時に投げる。大きいさいころの出た目を $a$、小さいさいころの出た目を $b$ とする。$a + b = 8$ であるという事象を $A$、$a = 3$ であるという事象を $B$ とする。$A$ が起こったときに $B$ が起こる条件付き確率 $P_A(B)$ を求めよ。
解答・解説を見る
大小2個のさいころを投げるとき、出方の組 $(a, b)$ は $6 \times 6 = 36$ 通りあり、どの組も同様に確からしいとします。
ステップ1:事象Aを書き出し、P(A) を求める
$a + b = 8$ となる組 $(a, b)$ を、$a$ の値ごとに調べます($a$、$b$ はどちらも $1$ から $6$ の整数です)。
- $a = 2$ のとき $b = 6$ → $(2, 6)$
- $a = 3$ のとき $b = 5$ → $(3, 5)$
- $a = 4$ のとき $b = 4$ → $(4, 4)$
- $a = 5$ のとき $b = 3$ → $(5, 3)$
- $a = 6$ のとき $b = 2$ → $(6, 2)$
($a = 1$ だと $b = 7$ となり、さいころの目としてありえないので除きます。)
以上より $A$ に含まれる組は $5$ 通りなので、
$P(A) = \frac{5}{36}$
ステップ2:A∩B を求めて P(A∩B) を計算する
$A \cap B$ は「$a + b = 8$ かつ $a = 3$」なので、上のリストの中で $a = 3$ のものだけを見ればよく、$(3, 5)$ の $1$ 通りだけです。
$P(A \cap B) = \frac{1}{36}$
ステップ3:条件付き確率の定義式に当てはめる
$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\dfrac{1}{36}}{\dfrac{5}{36}} = \frac{1}{36} \times \frac{36}{5} = \frac{1}{5}$
したがって、$P_A(B) = \dfrac{1}{5}$ です。
分母が同じ $36$ どうしの割り算になっているので、$P(A \cap B) \div P(A) = \dfrac{1}{36} \div \dfrac{5}{36}$ を、分子どうしの割り算 $1 \div 5$ として計算しても同じ結果になることも確認しておきましょう。
例題3(応用)
問題
箱Aには白玉3個と赤玉2個が、箱Bには白玉1個と赤玉4個が入っている。さいころを1回投げて、出た目が1,2,3のときは箱Aを、4,5,6のときは箱Bを選び、選んだ箱から玉を1個取り出す。取り出した玉が白玉であったとき、その玉が箱Aから取り出された確率を求めよ。
解答・解説を見る
「箱Aを選ぶ」という事象を $E_1$、「箱Bを選ぶ」という事象を $E_2$、「取り出した玉が白玉である」という事象を $W$ とします。求めたいのは、$W$ が起こったという条件のもとで $E_1$ が起こっている確率、つまり $P_W(E_1)$ です。
ステップ1:箱を選ぶ確率を求める
さいころの目が1,2,3のとき箱Aを選ぶので、
$P(E_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
さいころの目が4,5,6のとき箱Bを選ぶので、
$P(E_2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
ステップ2:それぞれの箱で白玉が出る条件付き確率を求める
箱Aには白玉3個、赤玉2個の合計5個が入っているので、箱Aを選んだという条件のもとで白玉が出る確率は、
$P_{E_1}(W) = \frac{3}{5}$
箱Bには白玉1個、赤玉4個の合計5個が入っているので、箱Bを選んだという条件のもとで白玉が出る確率は、
$P_{E_2}(W) = \frac{1}{5}$
ステップ3:乗法定理を使って、それぞれの「箱を選び、かつ白玉が出る」確率を求める
$P(E_1 \cap W) = P(E_1) \times P_{E_1}(W) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$
$P(E_2 \cap W) = P(E_2) \times P_{E_2}(W) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$
ステップ4:白玉が出る確率 P(W) を求める
白玉が出るのは「箱Aを選んで白玉が出る」場合と「箱Bを選んで白玉が出る」場合のどちらかなので、この2つを足し合わせます。
$P(W) = P(E_1 \cap W) + P(E_2 \cap W) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
ステップ5:ベイズの定理(条件付き確率の定義)に当てはめる
$P_W(E_1) = \frac{P(E_1 \cap W)}{P(W)} = \frac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{2}{5}}$
分数の割り算なので、割る数 $\dfrac{2}{5}$ の逆数 $\dfrac{5}{2}$ をかけます。
$P_W(E_1) = \frac{3}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$
したがって、取り出した玉が白玉であったとき、それが箱Aから取り出された確率は $\dfrac{3}{4}$ です。
白玉は箱Aの方が多い割合(5個中3個)で入っているので、「白玉が出た」という情報を得ると、箱Aが選ばれていた可能性の方が高くなる、というのは直感にも合っていますね。
練習問題
問題
2つの袋P、Qがある。袋Pには赤玉2個と白玉3個が、袋Qには赤玉4個と白玉1個が入っている。1枚の硬貨を1回投げて、表が出たら袋P、裏が出たら袋Qから玉を1個取り出す。取り出した玉が赤玉であったとき、その玉が袋Qから取り出された確率を求めよ。
答え
袋Pを選ぶ事象を $E_1$、袋Qを選ぶ事象を $E_2$、赤玉が出る事象を $W$ とします。
$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}, \qquad P_{E_1}(W) = \frac{2}{5}, \qquad P_{E_2}(W) = \frac{4}{5}$
$P(E_1 \cap W) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}, \qquad P(E_2 \cap W) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$
$P(W) = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
$P_W(E_2) = \frac{P(E_2 \cap W)}{P(W)} = \frac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{5}} = \frac{2}{3}$
答え:$\dfrac{2}{3}$