無限等比数列・無限級数

まとめると、$\{r^n\}$ が収束するのは $-11$ または $r\leq -1$)では発散します。

無限級数とは何か

数列 $\{a_n\}$ の項を次々に足していく式

$a_1+a_2+a_3+\cdots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$

を無限級数といいます。無限個の数を実際に全部足すことはできないので、この和の意味は次のように定義します。まず、最初の $n$ 項までの和(部分和)を

$S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n$

とします。この $S_n$ は普通の(有限個の)数列なので、$n\to\infty$ のときの極限 $\lim_{n\to\infty} S_n$ を考えることができます。この極限が存在して $S$ という値に収束するとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は $S$ に収束するといい、

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$

と書きます。つまり、「無限級数の和」とは「部分和という数列の極限」のことなのです。

無限等比級数の和

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列 $a,ar,ar^2,\dots$ を無限に足し合わせた無限級数

$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a+ar+ar^2+\cdots$

を無限等比級数といいます。この部分和は、数学Bの等比数列の和の公式より($r\neq 1$ のとき)

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

です。ここで $n\to\infty$ とすると、$-1

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a(1-0)}{1-r} = \frac{a}{1-r}$

となり、無限等比級数は収束します。まとめると次の通りです。

• $a=0$ のとき:すべての項が $0$ なので、和は $0$ に収束する。
• $a\neq 0$ かつ $-1
• $a\neq 0$ かつ $r\geq 1$ または $r\leq -1$ のとき:発散する

例題

例題1(基本)

問題

次の無限等比級数の和を求めなさい。

$3+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\cdots$

例題2(標準)

問題

数列 $\{(2x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めなさい。