数学III / 積分法
置換積分法
要点整理
前のページまでで学んだ不定積分の公式は、$x$ そのものや、$\sin x$、$e^x$ のように、中身が単純な関数のものばかりでした。しかし、$\int(2x-1)^4\,dx$ や $\int x(x^2+3)^4\,dx$ のように、合成関数の形をした式の積分は、そのままでは公式が使えません。ここで学ぶ置換積分法は、微分法で学んだ連鎖律(合成関数の微分法)を、逆向きに使う方法です。
置換積分法の基本の考え方
連鎖律より、$F'(x)=f(x)$ であるとき、
$\{F(g(x))\}' = F'(g(x))\times g'(x) = f(g(x))\times g'(x)$
が成り立つのでした。この式は、「$f(g(x))\times g'(x)$ という形の式の原始関数が、$F(g(x))$ である」ということを意味しています。これを積分の形で書き直すと、
$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x))+C$
という置換積分法の公式が得られます。実際に計算するときは、$u=g(x)$ とおいて、次のように進めます。
- 積分の中に、ある関数 $g(x)$ とその導関数 $g'(x)$ の積の形(あるいはそれに定数を掛けた形)が隠れていないかを探す。
- $u=g(x)$ とおき、$\dfrac{du}{dx}=g'(x)$ の関係から、$du=g'(x)\,dx$(あるいは $dx=\dfrac{du}{g'(x)}$)という対応を作る。
- 積分の式を、すべて $u$ の式に書き直して積分する。
- 最後に $u=g(x)$ を代入して、$x$ の式に戻す。
特に頻出の2つのパターン
置換積分法の中でも、次の2つの形は非常によく出てくるので、パターンとして覚えておくと計算が速くなります。
パターン1:べき乗の形
$\int g(x)^n\,g'(x)\,dx = \frac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1)$
「ある式の $n$ 乗」と「その式(中身)を微分したもの」が掛け算の形で並んでいたら、このパターンが使えます。
パターン2:分数(対数)の形
$\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \log|g(x)|+C$
分母にある式 $g(x)$ を微分すると、ちょうど分子の $g'(x)$ になっている場合に、このパターンが使えます。これは、$u=g(x)$ と置換すると $\int\dfrac{1}{u}\,du=\log|u|+C$ になることから導かれます。
例題
例題1(基本)
問題
次の不定積分を求めなさい。
$\int(2x-1)^4\,dx$
解答・解説を見る
$u=2x-1$ とおきます。$u$ を $x$ で微分すると、
$\frac{du}{dx} = 2 \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}$
これを積分の式に代入します。
$\int(2x-1)^4\,dx = \int u^4\times\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^4\,du$
べき関数の不定積分の公式を使います。
$\frac{1}{2}\int u^4\,du = \frac{1}{2}\times\frac{u^5}{5} = \frac{u^5}{10}$
最後に $u=2x-1$ を戻します。
$\int(2x-1)^4\,dx = \frac{(2x-1)^5}{10}+C$
答え:$\dfrac{(2x-1)^5}{10}+C$
例題2(標準)
問題
次の不定積分を求めなさい。
$\int x(x^2+3)^4\,dx$
解答・解説を見る
$g(x)=x^2+3$ とおくと、$g'(x)=2x$ です。積分の中にある $x$ は、この $g'(x)=2x$ のちょうど半分($\frac12$倍)になっています。そこで、次のように $2x$ を作り出してから、その分を外に $\dfrac{1}{2}$ として補正します。
$\int x(x^2+3)^4\,dx = \frac{1}{2}\int (x^2+3)^4\times 2x\,dx$
(右辺を確認すると、$\dfrac{1}{2}\times 2x=x$ なので、たしかに左辺と同じ式になっています。)
ここで、パターン1($\int g(x)^n g'(x)\,dx=\dfrac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C$)を、$g(x)=x^2+3$、$g'(x)=2x$、$n=4$ として使います。
$\int(x^2+3)^4\times 2x\,dx = \frac{(x^2+3)^5}{5}$
したがって、
$\int x(x^2+3)^4\,dx = \frac{1}{2}\times\frac{(x^2+3)^5}{5} = \frac{(x^2+3)^5}{10}+C$
答え:$\dfrac{(x^2+3)^5}{10}+C$
例題3(応用)
問題
次の不定積分を求めなさい。
$\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx$
解答・解説を見る
分母 $g(x)=x^2+x+1$ を微分すると、
$g'(x) = 2x+1$
これは、ちょうど分子と完全に一致しています。したがって、この積分はパターン2($\int\dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\log|g(x)|+C$)がそのまま使える形です。
$\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx = \log|x^2+x+1|+C$
ここで、分母 $x^2+x+1$ の符号について確認しておきます。平方完成すると、
$x^2+x+1 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}$
$\left(x+\frac12\right)^2\geq 0$ なので、$x^2+x+1\geq \dfrac{3}{4}>0$ となり、$x^2+x+1$ はどんな実数 $x$ に対しても常に正の値を取ります。したがって、絶対値を外して、
$\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx = \log(x^2+x+1)+C$
と書いても構いません。
答え:$\log(x^2+x+1)+C$(絶対値を付けたままの $\log|x^2+x+1|+C$ でも正解)
練習問題
問題1
次の不定積分を求めなさい。
$\int(3x+2)^3\,dx$
答え
$u=3x+2$ とおくと $dx=\dfrac{du}{3}$ なので、$\dfrac{1}{3}\int u^3\,du=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{u^4}{4}=\dfrac{(3x+2)^4}{12}+C$ です。
問題2
次の不定積分を求めなさい。
$\int\frac{x^2}{x^3+1}\,dx$
答え
$g(x)=x^3+1$ とおくと $g'(x)=3x^2$ なので、$x^2=\dfrac13\times 3x^2$ を利用して $\dfrac13\log|x^3+1|+C$ です。