三角関数・指数関数・対数関数の導関数

要点整理

前のページで学んだ合成関数の微分法(連鎖律)を使うために、まずは三角関数・指数関数・対数関数、それぞれの基本の形($\sin x$、$\cos x$、$\tan x$、$e^x$、$a^x$、$\log x$、$\log_a x$)の導関数を、極限の定義に戻ってきちんと求めておきます。これらは、これから数学IIIで扱うほとんどすべての微分計算の土台になります。

$\sin x$ の導関数

導関数の定義と、三角関数の加法定理 $\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$ を使います。

$(\sin x)' = \lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}$

分子を、$\sin x$ を含む部分と $\cos x$ を含む部分に整理します。

$= \lim_{h\to 0}\left[\sin x\times\frac{\cos h-1}{h} + \cos x\times\frac{\sin h}{h}\right]$

ここで、前のページ(いろいろな関数の極限)で学んだ基本極限 $\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1$ を使います。また、$\lim_{h\to 0}\dfrac{1-\cos h}{h^2}=\dfrac{1}{2}$ を使うと、

$\frac{\cos h-1}{h} = -\frac{1-\cos h}{h} = -h\times\frac{1-\cos h}{h^2} \to -0\times\frac{1}{2} = 0\quad(h\to 0)$

であることが分かります。したがって、

$(\sin x)' = \sin x\times 0 + \cos x\times 1 = \cos x$

$\cos x$ の導関数

同じように、加法定理 $\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h$ を使います。

$(\cos x)' = \lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h} = \lim_{h\to 0}\left[\cos x\times\frac{\cos h-1}{h} - \sin x\times\frac{\sin h}{h}\right]$

上で確認した $\dfrac{\cos h-1}{h}\to 0$、$\dfrac{\sin h}{h}\to 1$ を使うと、

$(\cos x)' = \cos x\times 0 - \sin x\times 1 = -\sin x$

符号がマイナスになることを、$(\sin x)'=\cos x$ と混同しないようにしっかり覚えましょう。

$\tan x$ の導関数

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ なので、商の微分法を使います。

$(\tan x)' = \frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$

三角関数の相互関係 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ より、分子は $1$ になるので、

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

$e^x$ の導関数

前のページで学んだ基本極限 $\lim_{h\to 0}\dfrac{e^h-1}{h}=1$ を使います。

$(e^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{e^x(e^h-1)}{h} = e^x\times\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h} = e^x\times 1 = e^x$

ネイピア数 $e$ を底とする指数関数 $e^x$ は、微分しても形が変わらないという、非常に特別な性質を持っています。

$\log x$ の導関数

前のページで学んだ基本極限 $\lim_{t\to 0}\dfrac{\log(1+t)}{t}=1$ を使います($x>0$ とします)。

$(\log x)' = \lim_{h\to 0}\frac{\log(x+h)-\log x}{h}$

対数の性質 $\log(x+h)-\log x=\log\dfrac{x+h}{x}=\log\left(1+\dfrac{h}{x}\right)$ を使います。ここで $t=\dfrac{h}{x}$ とおくと、$h\to 0$ のとき $t\to 0$ で、$h=xt$ なので、

$\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h} = \frac{\log(1+t)}{xt} = \frac{1}{x}\times\frac{\log(1+t)}{t} \to \frac{1}{x}\times 1 = \frac{1}{x}\quad(t\to 0)$

したがって、

$(\log x)' = \frac{1}{x}$

$a^x$、$\log_a x$ の導関数(一般の底の場合)

底が $e$ ではなく一般の正の数 $a$($a\neq 1$)である場合も、$e^x$ や $\log x$ の結果を利用して求められます。

$a^x$ は、指数と対数の関係を使って $a^x=e^{x\log a}$ と書き直せます($\log a$ は定数です)。$u=x\log a$ とおいて連鎖律を使うと、

$(a^x)' = \left(e^{x\log a}\right)' = e^{x\log a}\times(\log a) = a^x\log a$

また、底の変換公式 $\log_a x=\dfrac{\log x}{\log a}$($\log a$ は定数)を使うと、

$(\log_a x)' = \frac{1}{\log a}\times(\log x)' = \frac{1}{\log a}\times\frac{1}{x} = \frac{1}{x\log a}$

これらの公式に、$a=e$($\log e=1$)を代入すると、それぞれ $(e^x)'=e^x$、$(\log_e x)'=(\log x)'=\dfrac{1}{x}$ となり、前で求めた結果と一致することが確認できます。

例題

例題1(基本)

問題

$y=3\sin x-2\cos x+e^x$ を微分しなさい。

解答・解説を見る

和と定数倍については、それぞれの項を個別に微分してよいので、公式 $(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$、$(e^x)'=e^x$ をそのまま当てはめます。

$y' = 3(\sin x)' - 2(\cos x)' + (e^x)' = 3\cos x - 2(-\sin x) + e^x$

$y' = 3\cos x+2\sin x+e^x$

答え:$y'=3\cos x+2\sin x+e^x$

例題2(標準)

問題

$y=x^2\log x$ を微分しなさい。

解答・解説を見る

$f(x)=x^2$、$g(x)=\log x$ とおき、積の微分法を使います。それぞれの導関数は、

$f'(x)=2x,\qquad g'(x)=\frac{1}{x}$

積の微分法 $\{fg\}'=f'g+fg'$ に代入します。

$y' = 2x\log x + x^2\times\frac{1}{x}$

$x^2\times\dfrac{1}{x}=x$ なので、

$y' = 2x\log x + x$

答え:$y'=2x\log x+x$

例題3(応用)

問題

$y=e^{2x}\sin 3x$ を微分しなさい。

解答・解説を見る

指数関数と三角関数の積で、しかもどちらも合成関数(中身が $2x$、$3x$)になっています。まず、それぞれを合成関数の微分法(連鎖律)を使って微分します。

$\left(e^{2x}\right)' = e^{2x}\times(2x)' = e^{2x}\times 2 = 2e^{2x}$

$(\sin 3x)' = \cos 3x\times(3x)' = \cos 3x\times 3 = 3\cos 3x$

$f(x)=e^{2x}$、$g(x)=\sin 3x$ とおいて、積の微分法 $\{fg\}'=f'g+fg'$ を使います。

$y' = 2e^{2x}\sin 3x + e^{2x}\times 3\cos 3x$

共通因数 $e^{2x}$ でくくり出します。

$y' = e^{2x}\left(2\sin 3x+3\cos 3x\right)$

答え:$y'=e^{2x}(2\sin 3x+3\cos 3x)$

練習問題

問題1

$y=\cos 2x+\log x$ を微分しなさい。

答え

$y'=-\sin 2x\times 2+\dfrac{1}{x}=-2\sin 2x+\dfrac{1}{x}$ です。

問題2

$y=xe^x$ を微分しなさい。

答え

積の微分法より $y'=1\times e^x+x\times e^x=e^x(1+x)$ です。

問題3

$y=2^x$ を微分しなさい。

答え

公式 $(a^x)'=a^x\log a$ に $a=2$ を代入して、$y'=2^x\log 2$ です。