2倍角・半角の公式

要点整理

2倍角の公式の導出

2倍角の公式は、加法定理で $\beta=\alpha$ とおくだけで導けます。

正弦の2倍角: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ に $\beta=\alpha$ を代入すると、

$\sin(\alpha+\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

よって、

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

余弦の2倍角: $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ に $\beta=\alpha$ を代入すると、

$\cos2\alpha = \cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

これが基本の形ですが、$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ を使うと、別の2通りの形にも書き換えられます。

$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ を代入すると、

$\cos2\alpha = (1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha = 1-2\sin^2\alpha$

また $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ を代入すると、

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha-1$

まとめると、

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 1-2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$

の3つの形があり、問題に応じて($\sin$だけの式にしたい、$\cos$だけの式にしたいなど)使い分けます。

正接の2倍角: $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ に $\beta=\alpha$ を代入すると、

$\tan2\alpha = \frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha} = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

半角の公式の導出

半角の公式は、2倍角の公式を逆向きに使って導きます。$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ という式で、$\theta=\dfrac{\alpha}{2}$(つまり $2\theta=\alpha$)とおいてみます。

$\cos\alpha = 1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}$

$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ について解きます。まず $2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ を左辺に移項します。

$2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1-\cos\alpha$

両辺を $2$ で割ると、

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}$

同じように、$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ に $\theta=\dfrac{\alpha}{2}$ を代入すると、

$\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1$

$\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$ について解くと、

$2\cos^2\frac{\alpha}{2} = 1+\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$

$\tan^2\dfrac{\alpha}{2}$ は、これら2つの式の比をとることで求められます。

$\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}} = \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$

半角の公式を使うときは、$\sin\dfrac{\alpha}{2}$ や $\cos\dfrac{\alpha}{2}$ そのものではなく、2乗した値が先に求まることに注意しましょう。符号は $\dfrac{\alpha}{2}$ がどの象限にあるかで決めます。

例題

例題1(基本)

問題 $\alpha$ が第2象限の角で $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ のとき、$\sin2\alpha$、$\cos2\alpha$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

まず $\cos\alpha$ を求めます。$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ より、

$\cos^2\alpha = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\alpha$ は第2象限なので $\cos\alpha<0$ より $\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}$。

$\sin2\alpha$: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ に代入します。

$\sin2\alpha = 2\times\frac{3}{5}\times\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$

$\cos2\alpha$: $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ に代入します。

$\cos2\alpha = 1-2\times\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1-2\times\frac{9}{25} = 1-\frac{18}{25} = \frac{7}{25}$

例題2(標準)

問題 $0<\alpha<\pi$ で $\cos\alpha=-\dfrac{1}{3}$ のとき、$\sin\dfrac{\alpha}{2}$、$\cos\dfrac{\alpha}{2}$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

$0<\alpha<\pi$ より、$0<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{\pi}{2}$ となるので、$\dfrac{\alpha}{2}$ は第1象限の角です。したがって $\sin\dfrac{\alpha}{2}>0$、$\cos\dfrac{\alpha}{2}>0$ と分かります。

半角の公式 $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}$ に代入します。

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}{2} = \frac{1+\frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{3}\times\frac{1}{2} = \frac{2}{3}$

$\sin\dfrac{\alpha}{2}>0$ なので、

$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt2}{\sqrt3} = \frac{\sqrt6}{3}$

同様に $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$ に代入します。

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\left(-\frac{1}{3}\right)}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$

$\cos\dfrac{\alpha}{2}>0$ なので、

$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$

検算: $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}+\cos^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1$ となり正しいことが確認できます。

例題3(応用)

問題 $\tan\alpha=\dfrac{1}{2}$ のとき、$\tan2\alpha$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

$\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ に $\tan\alpha=\dfrac12$ を代入します。分子は、

$2\tan\alpha = 2\times\frac{1}{2} = 1$

分母は、

$1-\tan^2\alpha = 1-\left(\frac12\right)^2 = 1-\frac14 = \frac34$

よって、

$\tan2\alpha = \frac{1}{\frac34} = 1\times\frac43 = \frac43$

練習問題

問題 $\alpha$ が第3象限の角で $\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}$ のとき、$\sin2\alpha$ の値を求めなさい。

答え

第3象限では $\sin\alpha<0$。$\sin^2\alpha=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$ より $\sin\alpha=-\dfrac35$。

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha = 2\times\left(-\dfrac35\right)\times\left(-\dfrac45\right)=\dfrac{24}{25}$