等差数列の和

まず、第10項 $a_{10}$ を求めます。一般項の公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ に $a_1=3$、$d=4$、$n=10$ を代入します。

$a_{10} = 3 + (10-1) \times 4 = 3 + 36 = 39$

次に、初項と末項が分かったので、和の公式 $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ を使います。$n=10$、$a_1=3$、$a_{10}=39$ を代入します。

$S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 39) = 5 \times 42 = 210$

したがって、$S_{10} = 210$ です。

初項と末項がすでに分かっているので、和の公式 $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ をそのまま使えます。$n=15$、$a_1=8$、$a_n=50$ を代入します。

$S_{15} = \frac{15}{2}(8+50)$

かっこの中を計算します。

$S_{15} = \frac{15}{2} \times 58$

$58$ を $2$ で先に割ると計算が楽になります。

$S_{15} = 15 \times 29$

$S_{15} = 435$

したがって、この等差数列の和は $435$ です。

公差が負の数（$d=-4$）なので、この数列の項は初項から少しずつ小さくなっていき、やがて負の数になります。項が正の数である間は足すたびに和が増えていきますが、項が負の数になった後は足すたびに和が減っていきます。したがって、和 $S_n$ が最大になるのは、加える項がちょうど正の数から負の数に切り替わる直前、つまり最後に足す項がまだ正の数（または $0$）である場合です。

そこで、まず一般項 $a_n$ を求めます。

$a_n = 50 + (n-1) \times (-4)$

かっこを展開します。

$a_n = 50 - 4n + 4$

$a_n = 54 - 4n$

次に、この項が正の数（$a_n \geq 0$）である範囲を求めます。

$54 - 4n \geq 0$

両辺から $54$ を引きます。

$-4n \geq -54$

両辺を $-4$ で割ります。負の数で割るので不等号の向きが逆になります。

$n \leq \frac{54}{4} = 13.5$

$n$ は正の整数なので、$a_n \geq 0$ となる最大の$n$は $n=13$ です。実際に確かめてみましょう。

$a_{13} = 54 - 4 \times 13 = 54 - 52 = 2 \ (\text{正の数})$

$a_{14} = 54 - 4 \times 14 = 54 - 56 = -2 \ (\text{負の数})$

たしかに第13項までは正の数で、第14項から負の数に変わります。つまり、第13項まで足したところで和は最大になり、第14項（負の数）を足すとかえって和が減ってしまいます。

したがって、$S_n$ が最大となるのは $n=13$ のときです。

参考までに、そのときの和 $S_{13}$ も計算しておきます。

$S_{13} = \frac{13}{2}(a_1 + a_{13}) = \frac{13}{2}(50+2) = \frac{13}{2}\times 52 = 13 \times 26 = 338$

$a_{12} = -2+(12-1)\times 5 = -2+55=53$

$S_{12} = \dfrac{12}{2}(-2+53) = 6 \times 51 = 306$

$S_{15} = \dfrac{15}{2}(6+90) = \dfrac{15}{2}\times 96 = 15\times 48 = 720$

$a_n = 30+(n-1)(-3) = 33-3n$。$a_n \geq 0$ を解くと $n \leq 11$。

$a_{11}=33-33=0$、$a_{12}=33-36=-3$ なので、$n=11$（$a_{11}=0$を含めても和は変わらないので $n=11$）のときに $S_n$ は最大となります。