場合の数と確率 公式ページ

和集合の要素の個数(2つの集合)

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

補集合の要素の個数

$$n(A^c) = n(U) - n(A)$$

和集合の要素の個数(3つの集合)

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$$

積の法則(2つの事柄)

$$m \times n$$

積の法則(3つの事柄)

$$m \times n \times l$$

和の法則

$$m + n$$

順列の総数(nPr)

$${}_{n}\mathrm{P}_{r} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$

n個すべてを並べる場合(nPn)

$${}_{n}\mathrm{P}_{n} = n!$$

円順列の総数

$$(n-1)!$$

重複順列の総数

$$n^r$$

じゅず順列(数珠順列)の総数

$$\frac{(n-1)!}{2}$$

組合せの数(nCr)

$${}_{n}\mathrm{C}_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

組合せと順列の関係

$${}_{n}\mathrm{C}_{r} = \frac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}$$

組合せの基本性質

$${}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-r}$$

重複組合せの公式

$${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$$

二項定理

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k}b^k$$

確率の定義(数学的確率)

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}$$

確率の基本性質

$$0 \leqq P(A) \leqq 1, \quad P(U) = 1, \quad P(\varnothing) = 0$$

余事象の確率

$$P(A) + P(\overline{A}) = 1$$

加法定理(一般の場合)

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

加法定理(排反事象の場合)

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

独立な試行の確率(乗法定理)

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

反復試行の確率

$$P(X = r) = {}_{n}\mathrm{C}_{r}\, p^{r} q^{n-r} \quad (q = 1-p)$$

条件付き確率の定義

$$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

確率の乗法定理

$$P(A \cap B) = P(A)\,P_A(B)$$

ベイズの定理(原因が2つの場合)

$$P_W(E_1) = \dfrac{P(E_1)\,P_{E_1}(W)}{P(E_1)\,P_{E_1}(W) + P(E_2)\,P_{E_2}(W)}$$

期待値(平均)の公式

$$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_{k=1}^{n} x_k p_k$$