数学B / 数列
数列の基本(一般項)
要点整理
数列とは
数列とは、ある規則にしたがって数を1列に並べたもののことです。たとえば、
$1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9, \ \ldots$
という並びは、「1から始めて2ずつ増える」という規則を持った数列です。
数列を作っている1つ1つの数のことを項（こう）と呼びます。数列の最初の項のことを初項と呼び、前から数えて$n$番目の項のことを第$n$項と呼びます。
数列全体を表すときは、それぞれの項に番号をつけて、
$a_1, \ a_2, \ a_3, \ \ldots, \ a_n, \ \ldots$
のように書きます。ここで $a_1$ は初項（第1項）、$a_2$ は第2項、$a_n$ は第$n$項を表します。この右下に小さく書いてある数字（$1, 2, 3, \ldots, n$）のことを添字（そえじ）と呼びます。添字は「その項が数列の何番目にあるか」を示す番号です。
一般項とは
数列の第$n$項を、$n$を使った1つの式で表したものを一般項と呼びます。一般項が分かれば、$n$に具体的な数字を代入するだけでどの項でも計算することができ、数列全体の規則を短い式で表現できるので、とても便利です。
例えば、先ほどの数列 $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ の一般項は、
$a_n = 2n - 1$
と表すことができます。これが正しいか確認してみましょう。
- $n=1$ のとき: $a_1 = 2 \times 1 - 1 = 1$ （初項と一致）
- $n=2$ のとき: $a_2 = 2 \times 2 - 1 = 3$ （第2項と一致）
- $n=3$ のとき: $a_3 = 2 \times 3 - 1 = 5$ （第3項と一致）
このように、$n$に $1, 2, 3, \ldots$ を代入していくと、もとの数列がきちんと再現されることが分かります。
一般項から項を求める
一般項の式が分かっていれば、知りたい番号の項をすぐに計算できます。たとえば一般項が $a_n = 3n + 2$ で与えられているとき、第4項 $a_4$ を求めるには、式の$n$に $4$ を代入するだけです。
$a_4 = 3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14$
並んだ数から一般項を推測する
逆に、数列の最初のいくつかの項だけが与えられていて、一般項を自分で見つけなければならない問題もよく出ます。このときは、
- 隣り合う項の差（増え方）に規則がないか調べる
- 項の並びが、$n^2$ や $2^n$ など見覚えのある形になっていないか調べる
- 見つけた予想が、$n=1, 2, 3, \ldots$ で実際にもとの数列と一致するか確認する
という手順で考えます。この単元では、こうした「規則を見抜く」感覚を身につけていきます。
例題
例題1（基本）
問題
数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = 3n + 2$ で与えられているとき、初項 $a_1$、第2項 $a_2$、第5項 $a_5$ を求めなさい。
解答・解説を見る
一般項 $a_n = 3n+2$ の$n$に、求めたい番号を1つずつ代入します。
初項 $a_1$ は、$n=1$ を代入して、
$a_1 = 3 \times 1 + 2 = 3 + 2 = 5$
第2項 $a_2$ は、$n=2$ を代入して、
$a_2 = 3 \times 2 + 2 = 6 + 2 = 8$
第5項 $a_5$ は、$n=5$ を代入して、
$a_5 = 3 \times 5 + 2 = 15 + 2 = 17$
したがって、$a_1 = 5$、$a_2 = 8$、$a_5 = 17$ です。
例題2（標準）
問題
次の数列の一般項 $a_n$ を推測しなさい。
$2, \ 5, \ 10, \ 17, \ 26, \ \ldots$
解答・解説を見る
まず、隣り合う項の差を調べてみます。
- $a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$
- $a_3 - a_2 = 10 - 5 = 5$
- $a_4 - a_3 = 17 - 10 = 7$
- $a_5 - a_4 = 26 - 17 = 9$
差が $3, 5, 7, 9$ と、2ずつ増えていく数列になっています。差が一定ではなく変化していく場合は、$n^2$（$n$の2乗）が関係していることが多いので、$a_n$ が $n^2$ に近い形ではないかと予想してみます。
各項から $n^2$ を引いてみると、
- $n=1$: $a_1 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
- $n=2$: $a_2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$
- $n=3$: $a_3 - 3^2 = 10 - 9 = 1$
- $n=4$: $a_4 - 4^2 = 17 - 16 = 1$
- $n=5$: $a_5 - 5^2 = 26 - 25 = 1$
どの場合も $1$ が余ることが分かります。つまり、
$a_n = n^2 + 1$
と予想できます。実際に $n=1,2,3,4,5$ を代入して確かめると、$2, 5, 10, 17, 26$ となり、もとの数列と一致します。
したがって、一般項は $a_n = n^2 + 1$ です。
例題3（応用）
問題
数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = 4n - 3$ で与えられているとき、$45$ はこの数列の第何項か求めなさい。
解答・解説を見る
「$45$ は第何項か」を求めるということは、$a_n = 45$ となる$n$の値を求めるということです。一般項の式に $a_n = 45$ を代入して、$n$についての方程式を作ります。
$4n - 3 = 45$
両辺に $3$ を足します。
$4n = 45 + 3$
$4n = 48$
両辺を $4$ で割ります。
$n = 12$
$n=12$ は正の整数なので、条件に合っています。したがって、$45$ はこの数列の第12項です。
念のため確認すると、$a_{12} = 4 \times 12 - 3 = 48 - 3 = 45$ となり、正しいことが分かります。
練習問題
問題1
数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = 5n - 4$ で与えられているとき、初項 $a_1$ と第6項 $a_6$ を求めなさい。
答え
$a_1 = 5 \times 1 - 4 = 1$
$a_6 = 5 \times 6 - 4 = 26$
問題2
次の数列の一般項 $a_n$ を推測しなさい。
$4, \ 7, \ 10, \ 13, \ 16, \ \ldots$
答え
隣り合う項の差はすべて $3$ で一定なので、初項 $4$ に $3$ を $(n-1)$ 回足す形になります。
$a_n = 4 + 3(n-1) = 3n + 1$
問題3
数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = 2n + 5$ で与えられているとき、$37$ はこの数列の第何項か求めなさい。
答え
$2n + 5 = 37$ を解くと、$2n = 32$ より $n = 16$。
したがって、第16項です。