曲線の長さ・速度と道のり

要点整理

曲線の長さの公式

曲線 $y=f(x)$($a\leq x\leq b$)の長さを求める公式を考えます。区間 $[a,b]$ を、幅 $\Delta x$ のとても小さな区間にたくさん分割します。1つの小さな区間 $[x,x+\Delta x]$ の中では、曲線はほぼ直線とみなせるので、その部分の曲線の長さは、2点 $(x,f(x))$、$(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ を結ぶ線分の長さで近似できます。三平方の定理より、この線分の長さは、

$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\qquad(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x))$

です。ここで $(\Delta x)^2$ をくくり出します。

$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} = \sqrt{(\Delta x)^2\left(1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right)} = |\Delta x|\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}$

$\Delta x\to 0$ とすると、$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(x)$ となるので、それぞれの小さな区間の長さは、およそ $\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,\Delta x$ になります。これをすべての小区間について足し合わせ、$\Delta x\to 0$ の極限を取る(定積分の考え方そのものです)と、曲線の長さの公式が得られます。

$L = \int_a^b \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$

同じように、曲線が媒介変数表示 $x=x(t)$、$y=y(t)$($t_1\leq t\leq t_2$)で与えられている場合は、$\Delta x\approx x'(t)\Delta t$、$\Delta y\approx y'(t)\Delta t$ となることから、

$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\{x'(t)\}^2+\{y'(t)\}^2}\,dt$

という公式が得られます。

道のりと変位

数直線上を動く点の、時刻 $t$ における速度が $v(t)$ で表されているとします。時刻 $t_1$ から $t_2$ の間に、この点の位置がどれだけ変化したか(変位)は、これまで学んだ通り、

$\text{変位} = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$

で求められます。これは、途中で向きが変わっても、あくまで「最初の位置」から「最後の位置」までの正味の変化量(向きを考慮した量)です。

一方、実際にこの点が動いた道のり(経路の長さの合計、向きに関係なくすべて足し合わせたもの)を求めたい場合は、速度の絶対値を積分する必要があります。

$\text{道のり} = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$

これは、ちょうど曲線の長さの公式で「速さ $|v(t)|$」を「$x$ 軸方向だけの速さ」として扱っているのと同じ考え方です。途中で $v(t)$ の符号が変わる(向きが逆転する)場合、変位と道のりの値は異なります。符号が変わらない(ずっと同じ向きに動き続ける)場合は、変位と道のりは一致します。

例題

例題1(基本)

問題

曲線 $y=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$($0\leq x\leq 3$)の長さを求めなさい。

解答・解説を見る

$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{2}{3}\times\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

$\{f'(x)\}^2=x$ なので、曲線の長さの公式に代入します。

$L = \int_0^3\sqrt{1+x}\,dx$

$u=1+x$ とおくと $du=dx$ で、積分区間は $x=0$ のとき $u=1$、$x=3$ のとき $u=4$ となります。

$L = \int_1^4 \sqrt{u}\,du = \int_1^4 u^{\frac12}\,du$

原始関数を求めて上端・下端を代入します。

$L = \left[\frac{2}{3}u^{\frac32}\right]_1^4 = \frac{2}{3}\left(4^{\frac32}-1^{\frac32}\right)$

$4^{\frac32}=(4^{\frac12})^3=2^3=8$ なので、

$L = \frac{2}{3}(8-1) = \frac{2}{3}\times 7 = \frac{14}{3}$

答え:$\dfrac{14}{3}$

例題2(標準)

問題

媒介変数表示 $x=r\cos t$、$y=r\sin t$($0\leq t\leq 2\pi$、$r$ は正の定数)で表される円の周の長さを、曲線の長さの公式を使って求めなさい。

解答・解説を見る

$x(t)$、$y(t)$ をそれぞれ $t$ で微分します。

$x'(t) = -r\sin t,\qquad y'(t) = r\cos t$

曲線の長さの公式(媒介変数表示)に代入します。

$L = \int_0^{2\pi}\sqrt{(-r\sin t)^2+(r\cos t)^2}\,dt = \int_0^{2\pi}\sqrt{r^2\sin^2 t+r^2\cos^2 t}\,dt$

$r^2$ でくくり、三角関数の相互関係 $\sin^2t+\cos^2t=1$ を使います。

$= \int_0^{2\pi}\sqrt{r^2(\sin^2 t+\cos^2 t)}\,dt = \int_0^{2\pi}\sqrt{r^2}\,dt = \int_0^{2\pi} r\,dt\quad(r>0\text{より}\sqrt{r^2}=r)$

$r$ は定数なのでそのまま積分できます。

$L = r\big[t\big]_0^{2\pi} = r\times 2\pi = 2\pi r$

答え:$2\pi r$

(これは、円周の長さの公式としてよく知られている $2\pi r$ と一致しており、曲線の長さの公式が正しいことが確認できます。)

例題3(応用)

問題

数直線上を動く点の、時刻 $t$($0\leq t\leq 4$)における速度が $v(t)=t^2-4t+3$ で表されている。$t=0$ から $t=4$ までの、この点の変位と道のりを、それぞれ求めなさい。

解答・解説を見る

速度の符号を調べる

$v(t)=t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$ なので、$v(t)=0$ となるのは $t=1,3$ です。

$0\leq t<1$:例えば $v(0)=3>0$
$1
$30$

変位を求める

原始関数を求めます。

$\int v(t)\,dt = \frac{t^3}{3}-2t^2+3t+C$

$F(t)=\dfrac{t^3}{3}-2t^2+3t$ とおくと、

$F(0)=0,\quad F(1)=\frac13-2+3=\frac43,\quad F(3)=9-18+9=0,\quad F(4)=\frac{64}{3}-32+12=\frac43$

変位は、そのまま $\displaystyle\int_0^4 v(t)\,dt$ を計算すればよいので、

$\text{変位} = F(4)-F(0) = \frac{4}{3}-0 = \frac{4}{3}$

道のりを求める

道のりは、符号が変わる点($t=1,3$)で区間を分割し、それぞれの区間で絶対値を取って足し合わせます。

$\int_0^1 v(t)\,dt = F(1)-F(0) = \frac{4}{3}-0 = \frac{4}{3}\quad(\text{この区間は}v(t)>0\text{なのでそのままでよい})$

$\int_1^3 v(t)\,dt = F(3)-F(1) = 0-\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}\quad(\text{この区間は}v(t)<0\text{なので絶対値を取る}\to\frac{4}{3})$

$\int_3^4 v(t)\,dt = F(4)-F(3) = \frac{4}{3}-0 = \frac{4}{3}\quad(\text{この区間は}v(t)>0\text{なのでそのままでよい})$

3つの区間の道のり(絶対値を取ったもの)を足し合わせます。

$\text{道のり} = \frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$

答え:変位は $\dfrac{4}{3}$、道のりは $4$

(向きが2回変わっているため、道のりの方が変位よりもずっと大きくなっていることが分かります。)

練習問題

問題1

曲線 $y=\dfrac{2}{3}(x-1)^{\frac32}$($1\leq x\leq 5$)の長さを求めなさい。

答え

$f'(x)=(x-1)^{\frac12}$ より $1+\{f'(x)\}^2=1+(x-1)=x$ なので、$L=\displaystyle\int_1^5\sqrt{x}\,dx=\left[\frac23x^{\frac32}\right]_1^5=\frac23\left(5^{\frac32}-1\right)=\frac23(5\sqrt{5}-1)$ です。

問題2

数直線上を動く点の速度が $v(t)=2t-6$($0\leq t\leq 4$)で表されている。$t=0$ から $t=4$ までの変位と道のりを求めなさい。

答え

$v(t)=0$ となるのは $t=3$。$F(t)=t^2-6t$ とすると $F(0)=0$、$F(3)=-9$、$F(4)=-8$。変位は $F(4)-F(0)=-8$。道のりは $|F(3)-F(0)|+|F(4)-F(3)|=9+1=10$ です。