積分法 公式ページ

べき関数の不定積分(一般形)

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\neq -1)$$

$\frac{1}{x}$ の不定積分

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \log|x|+C$$

三角関数の不定積分

$$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,\quad \int\cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int\frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tan x+C$$

指数関数の不定積分

$$\int e^x\,dx=e^x+C,\quad \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\log a}+C\ (a>0,\ a\neq 1)$$

置換積分法(基本の考え方)

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x))+C\quad (F'(x)=f(x))$$

頻出パターン1(べき乗形)

$$\int g(x)^n\,g'(x)\,dx = \frac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1)$$

頻出パターン2(対数形)

$$\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \log|g(x)|+C$$

部分積分法

$$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$$

定積分の基本定理

$$\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)\quad(F'(x)=f(x))$$

定積分の性質

$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx,\qquad \int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx$$

偶関数・奇関数の定積分

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \begin{cases} 2\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx & (f\text{が偶関数のとき}) \\ 0 & (f\text{が奇関数のとき}) \end{cases}$$

曲線と$x$軸の間の面積

$$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$$

2曲線の間の面積

$$S = \int_a^b \{f(x)-g(x)\}\,dx\quad (f(x)\geq g(x)\ \text{のとき})$$

媒介変数表示された曲線と面積

$$S = \int y\,dx = \int y(t)\,x'(t)\,dt$$

断面積による体積

$$V = \int_a^b S(x)\,dx$$

回転体の体積($x$軸のまわり)

$$V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$$

回転体の体積($y$軸のまわり)

$$V = \pi\int_c^d \{g(y)\}^2\,dy$$

2曲線に挟まれた回転体の体積

$$V = \pi\int_a^b\left(\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2\right)dx\quad (f(x)\geq g(x)\geq 0)$$

曲線の長さ($y=f(x)$の場合)

$$L = \int_a^b \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$$

曲線の長さ(媒介変数表示の場合)

$$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\{x'(t)\}^2+\{y'(t)\}^2}\,dt$$

道のりと変位

$$\text{変位} = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt,\qquad \text{道のり} = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$$

区分求積法(区間 $[0,1]$)

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx$$

区分求積法(一般の区間 $[a,b]$)

$$\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(a+k\cdot\frac{b-a}{n}\right) = \int_a^b f(x)\,dx$$