等比数列の和 | 高校数学まるごと解説

等比数列の和

要点整理

前の単元で、等比数列の一般項 $a_n = a_1 r^{n-1}$ を学びました。この単元では、等比数列の初項から第$n$項までを全部足した和 $S_n$ を求める公式を学びます。

和の公式の作り方

初項 $a_1$、公比 $r$ の等比数列の、初項から第$n$項までの和を $S_n$ とおきます。

$S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{\,n-1} \quad \cdots ①$

①の両辺に $r$ をかけます。

$r S_n = a_1 r + a_1 r^2 + a_1 r^3 + \cdots + a_1 r^{\,n} \quad \cdots ②$

①から②を引きます。右辺をよく見ると、$a_1 r, \ a_1 r^2, \ \ldots, \ a_1 r^{\,n-1}$ の部分が①と②の両方に共通して現れているため、引き算するとちょうど打ち消し合います。

$S_n - r S_n = a_1 - a_1 r^{\,n}$

左辺は $S_n$ でくくれます。

$(1-r) S_n = a_1(1 - r^{\,n})$

$r \neq 1$ のとき、両辺を $(1-r)$ で割ることができます。

$S_n = \frac{a_1(1-r^{\,n})}{1-r}$

これが、公比が $1$ でない等比数列の和の公式です。分母・分子の符号を両方入れ替えても値は変わらないので、

$S_n = \frac{a_1(r^{\,n}-1)}{r-1}$

という形で覚えても構いません。どちらも同じ式なので、計算しやすい方を使いましょう。

公比が1のとき

もし公比が $r=1$ だったら、数列はすべての項が $a_1$ で同じ数になります（$a_1, a_1, a_1, \ldots$）。この場合は上の公式の分母が $0$ になってしまい使えないので、別に考える必要があります。同じ数を$n$個足すだけなので、

$S_n = n a_1$

となります。ただし、高校の問題では公比が $1$ になるケースはあまり多くなく、多くの問題では公比が $1$ でないことを前提に上の公式を使います。

例題

例題1（基本）

問題

初項が $3$、公比が $2$ である等比数列の、初項から第6項までの和 $S_6$ を求めなさい。

解答・解説を見る

公比が $1$ でない（$r=2$）ので、和の公式 $S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$ を使います。$a_1=3$、$r=2$、$n=6$ を代入します。

$S_6 = \frac{3(2^6-1)}{2-1}$

$2^6$ を計算します。$2^2=4$、$2^3=8$、$2^4=16$、$2^5=32$、$2^6=64$ です。

$S_6 = \frac{3(64-1)}{1} = 3 \times 63 = 189$

したがって、$S_6 = 189$ です。

（確認: 数列は $3, 6, 12, 24, 48, 96$ となり、これらを実際に足すと $3+6+12+24+48+96=189$ となって一致します。）

例題2（標準）

問題

初項が $8$、公比が $\dfrac{1}{2}$ である等比数列の、初項から第5項までの和 $S_5$ を求めなさい。

解答・解説を見る

公比が $1$ でない（$r=\dfrac{1}{2}$）ので、和の公式 $S_n = \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ を使います。$a_1=8$、$r=\dfrac{1}{2}$、$n=5$ を代入します。

$S_5 = \frac{8\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^5\right)}{1-\dfrac{1}{2}}$

まず $\left(\dfrac{1}{2}\right)^5$ を計算します。

$\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$

分子の中の $1 - \dfrac{1}{32}$ を計算します。

$1 - \frac{1}{32} = \frac{32}{32} - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$

分母の $1-\dfrac{1}{2}$ を計算します。

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

これらを代入します。

$S_5 = \frac{8 \times \dfrac{31}{32}}{\dfrac{1}{2}}$

分子を先に計算します。$8 \times \dfrac{31}{32} = \dfrac{8 \times 31}{32} = \dfrac{248}{32} = \dfrac{31}{4}$ です。

$S_5 = \frac{31}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{31}{4} \times 2 = \frac{31}{2}$

したがって、$S_5 = \dfrac{31}{2}$（$=15.5$）です。

（確認: 数列は $8, 4, 2, 1, \dfrac{1}{2}$ となり、これらを足すと $8+4+2+1+0.5=15.5$ となって一致します。）

例題3（応用）

問題

ある人が、1年目の初めに貯金箱に $10$ 万円を入れました。それ以降、毎年初めに前年に入れた金額のちょうど $2$ 倍の金額を貯金箱に入れていくことにしました。$10$ 年間続けたとき、貯金箱の中の合計金額はいくらになるか求めなさい。

解答・解説を見る

まず、この文章題を数列の言葉に翻訳します。$n$年目に入れる金額を $a_n$ とすると、1年目に入れる金額は $a_1 = 10$ 万円です。そして、毎年「前年の2倍」を入れるということは、隣り合う項の比が常に $2$ であるということなので、これは公比 $r=2$ の等比数列です。

求めたいのは、1年目から10年目までに入れた金額の合計なので、これは初項から第10項までの和 $S_{10}$ にあたります。等比数列の和の公式 $S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$ に、$a_1=10$（万円）、$r=2$、$n=10$ を代入します。

$S_{10} = \frac{10(2^{10}-1)}{2-1}$

$2^{10}$ を計算します。$2^5=32$ なので、$2^{10} = (2^5)^2 = 32^2 = 1024$ です。

$S_{10} = \frac{10(1024-1)}{1} = 10 \times 1023 = 10230$

これは万円単位なので、$10230$ 万円、つまり

$1 \text{億} 230 \text{万円}$

となります。

したがって、10年間で貯金箱の中の合計金額は $10230$ 万円（1億230万円）です。

練習問題

問題1

初項が $5$、公比が $3$ である等比数列の、初項から第5項までの和を求めなさい。

答え

$S_5 = \dfrac{5(3^5-1)}{3-1} = \dfrac{5(243-1)}{2} = \dfrac{5\times 242}{2} = 5 \times 121 = 605$

問題2

初項が $16$、公比が $\dfrac{1}{2}$ である等比数列の、初項から第4項までの和を求めなさい。

答え

$S_4 = \dfrac{16\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)}{1-\frac{1}{2}} = \dfrac{16\times \frac{15}{16}}{\frac{1}{2}} = 15 \times 2 = 30$

問題3

初項が $2$、公比が $2$ である等比数列で、初項から第$n$項までの和が $254$ になるときの $n$ を求めなさい。

答え

$S_n = \dfrac{2(2^n-1)}{2-1} = 2(2^n-1) = 254$ より $2^n - 1 = 127$、$2^n = 128 = 2^7$ なので $n=7$。