空間図形(直線・平面の位置関係、多面体)

要点整理

ここまでは三角形や円という「平面図形」を中心に見てきましたが、この単元では舞台を空間(3次元)に広げます。平面図形と同じ言葉(平行・垂直・交わる)を使いますが、空間では平面図形にはなかった新しい位置関係が出てくるので、1つずつ丁寧に確認していきましょう。

1. 2直線の位置関係

空間内にある2本の異なる直線 $l$, $m$ の位置関係は、次の3つのどれかになります。

1点で交わる……$l$ と $m$ が同じ平面上にあり、ちょうど1点を共有する場合です。
平行である……$l$ と $m$ が同じ平面上にあり、どこまで延長しても交わらない場合です。
ねじれの位置にある……$l$ と $m$ を同時に含むような平面が存在しない場合です。

このうち「ねじれの位置」が、平面図形にはなかった空間特有の関係です。実は、2直線が同じ平面上にあるならば、必ず「交わる」か「平行」のどちらかになります(平面の中では、交わらない2直線は平行しかありえません)。ですから、「交わらない」かつ「平行でもない」ならば、それらの2直線は同じ平面上に乗せることができない、つまり自動的に「ねじれの位置」になります。この言い換えは、後の例題1で実際に使います。

2. 直線と平面の位置関係

直線 $l$ と平面 $\alpha$ の位置関係は、次の3つのどれかになります。

$l$ が $\alpha$ に含まれる(直線上のすべての点が平面上にもある)
$l$ と $\alpha$ が1点で交わる
$l$ と $\alpha$ が平行である(共有点を持たない)

3. 2平面の位置関係

平面 $\alpha$ と平面 $\beta$ の位置関係は、次の2つのどちらかになります。

$\alpha$ と $\beta$ が交わる(共有する点全体が1本の直線になります。この直線を交線と呼びます)
$\alpha$ と $\beta$ が平行である(共有点を持たない)

4. 直線と平面の垂直

直線 $l$ が平面 $\alpha$ に垂直である($l \perp \alpha$ と書きます)とは、本来は「$l$ が $\alpha$ 上にあるすべての直線と垂直になっている」ということです。ですが、$\alpha$ 上には直線が無数にあるので、そのすべてを確かめるのは大変です。そこで、次の便利な判定条件が使われます。

直線 $l$ が、平面 $\alpha$ 上にある交わる2直線の両方に垂直であれば、$l$ は平面 $\alpha$ 全体に垂直である($l \perp \alpha$)。

つまり、平面上のすべての直線ではなく、交わる2本の直線とだけ垂直であることを確かめれば十分だ、という条件です。これは例題2で実際に使う、とても大切な考え方です。

5. 三垂線の定理

平面 $\alpha$ の外側に点 $P$ があり、$P$ から $\alpha$ に下ろした垂線の足を $A$ とします($PA \perp \alpha$)。$\alpha$ 上に直線 $l$ があり、$l$ 上の点を $H$ とするとき、次の関係が成り立ちます。

$AH \perp l \iff PH \perp l$

($\iff$ は「同値である」という意味の記号で、左が成り立てば右も成り立ち、右が成り立てば左も成り立つ、ということを表します。)

つまり、「平面に立てた垂線の足 $A$ から見て $l$ に垂直かどうか」と「外側の点 $P$ から見て $l$ に垂直かどうか」は、同じ結果になるということです。空間図形の中で垂直な関係を探すときによく使われます。

6. 多面体

平面だけで囲まれた立体を多面体と呼びます。とくに、へこみのない多面体を凸多面体と呼びます(立体の内部にある2点をどのように選んでも、その2点を結ぶ線分が必ず立体からはみ出さない多面体のことです)。

凸多面体のうち、次の2つの条件をどちらも満たすものを正多面体と呼びます。

どの面もすべて合同な正多角形である
どの頂点にも同じ数の面が集まっている

正多面体は、次の5種類しか存在しないことが知られています。

名前	面の形	面の数
正四面体	正三角形	4
正六面体(立方体)	正方形	6
正八面体	正三角形	8
正十二面体	正五角形	12
正二十面体	正三角形	20

そして、どんな凸多面体についても、頂点の数を $v$ (vertexの頭文字)、辺の数を $e$ (edgeの頭文字)、面の数を $f$ (faceの頭文字)とすると、次の関係がいつも成り立ちます。

$v - e + f = 2$

これをオイラーの多面体定理と呼びます。例えば立方体では $v=8$(頂点8個)、$e=12$(辺12本)、$f=6$(面6個)なので、$8 - 12 + 6 = 2$ となり、確かに成り立っています。この定理は、面の形や集まり方の情報から、辺の数や頂点の数を逆算するときにとても役立ちます(例題3・練習問題で実際に使います)。

例題

例題1(基本)

問題

図のような立方体 ABCD-EFGH を考えます(頂点 A の真上に E、B の真上に F、C の真上に G、D の真上に H があるものとします)。辺 AB を基準にして、次の辺をすべて答えなさい。

(1) 辺 AB と平行な辺 (2) 辺 AB と1点で交わる辺 (3) 辺 AB とねじれの位置にある辺

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まず、この立方体の辺をすべて書き出しておきます。全部で12本あります。

下の面(正方形 ABCD)の辺: AB, BC, CD, DA
上の面(正方形 EFGH)の辺: EF, FG, GH, HE
縦の辺(側面の辺): AE, BF, CG, DH

(1) 辺 AB と平行な辺

面 ABCD は正方形なので、向かい合う辺は平行です。よって

$AB \parallel CD$

また、面 ABFE(A, B, F, E を頂点とする側面)も正方形なので、こちらも向かい合う辺が平行になり、

$AB \parallel EF$

さらに、面 EFGH も正方形なので $EF \parallel GH$ が成り立ちます。$AB \parallel EF$ と $EF \parallel GH$ を合わせる(平行の関係は途中の直線を経由してつなげることができます)と、

$AB \parallel GH$

も成り立つことがわかります。

以上より、辺 AB と平行な辺は CD, EF, GH の3本です。

(2) 辺 AB と1点で交わる辺

辺 AB は、頂点 A と頂点 B を両端に持つ線分です。ですから、頂点 A を共有する辺と、頂点 B を共有する辺を探せばよいことになります。

頂点 A を共有する辺(AB以外): DA, AE
頂点 B を共有する辺(AB以外): BC, BF

よって、辺 AB と1点で交わる辺は DA, AE, BC, BF の4本です(この立方体はすべての面が正方形なので、これらの交点ではどれも90°で交わっています)。

(3) 辺 AB とねじれの位置にある辺

全部で12本ある辺のうち、AB自身を除いた11本から、(1)で求めた平行な3本と、(2)で求めた交わる4本を除くと、残りは

$11 - 3 - 4 = 4 \text{(本)}$

となります。具体的に書き出すと、残るのは FG, HE, CG, DH の4本です。

これらが本当にねじれの位置にあることを確認しましょう。要点整理で確認したように、「平行でもなく、交わりもしない2直線は、必ずねじれの位置にある」のでした。FG, HE, CG, DH はどれも(1)の平行なグループにも(2)の交わるグループにも入っていない、つまり AB と平行でもなく、AB と交わりもしない辺です。したがって、これらはすべて AB とねじれの位置にある、と結論できます。

例題2(標準)

問題

四角錐 T-ABCD において、底面 ABCD は正方形であり、辺 TA は底面 ABCD に垂直である($TA \perp$ 平面ABCD)とします。このとき、対角線 BD と辺 TC が垂直であること($BD \perp TC$)を証明しなさい。

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方針

「直線が平面に垂直である」という条件(要点整理4)をうまく使うと、垂直な関係を次々に導くことができます。ここでは、BD がある平面全体に垂直であることを示し、そこから BD⊥TC を導きます。

ステップ1:$TA \perp BD$ を示す

仮定より $TA \perp$ 平面ABCD です。これは、TA が平面ABCD上にあるすべての直線と垂直であることを意味します。辺 BD は(2点 B, D がどちらも平面ABCD上にあるので)平面ABCD上にある直線です。したがって、

$TA \perp BD \quad \cdots ①$

が成り立ちます。

ステップ2:$AC \perp BD$ を示す

ABCD は正方形です。正方形はひし形でもあるので、その2本の対角線 AC と BD は垂直に交わります(中学校で学んだ、ひし形の対角線の性質です)。したがって、

$AC \perp BD \quad \cdots ②$

が成り立ちます。

ステップ3:BD が平面TACに垂直であることを示す

点 T は平面ABCDの外側にある点なので、T, A, C の3点は一直線上にはありません(もし一直線上にあるとすると、A と C を通る直線、つまり平面ABCD上の直線の上に T もあることになり、T が平面ABCDの外にあることと矛盾してしまいます)。一直線上にない3点は、ただ1つの平面を決定します。この平面を平面TACと呼ぶことにします。

直線 TA と直線 AC は、どちらも点 A を通り、平面TACの中に含まれる2直線です。つまり TA と AC は、平面TAC上で交わる2直線です。

①、②より、BD はこの交わる2直線 TA, AC の両方に垂直です。要点整理4の判定条件「平面上の交わる2直線に垂直ならば、その平面全体に垂直である」を使うと、

$BD \perp \text{平面TAC}$

が成り立つことがわかります。

ステップ4:結論

辺 TC は、2点 T, C を結ぶ直線であり、T も C も平面TACに含まれる点なので、直線 TC は平面TACの中に含まれる直線です。BD は平面TAC全体に垂直なので、その中に含まれるどんな直線にも垂直です。よって、

$BD \perp TC$

が成り立ちます。(証明終わり)

補足

対角線 AC と BD の交点を M とすると、$AM \perp BD$ が成り立つので、三垂線の定理(要点整理5)を使って $TM \perp BD$ を示すこともできます。三垂線の定理は、このように「平面上の点から見た垂直」を「平面の外の点から見た垂直」に読み替えるときの近道になります。

例題3(応用)

問題

ある凸多面体は、正五角形の面12個と正六角形の面20個だけからなり、どの頂点にもちょうど正五角形1個と正六角形2個(合計3個の面)が集まっています。(これはサッカーボールと同じ形の多面体です。)この多面体の辺の数 $e$ と頂点の数 $v$ を求めなさい。

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面の数を求める

面は正五角形12個と正六角形20個なので、面の総数は

$f = 12 + 20 = 32$

辺の数を求める

いきなり辺の数を数えるのは難しいので、まず「面の辺の延べ数」を数えます。正五角形1個には辺が5本、正六角形1個には辺が6本あるので、

$12 \times 5 + 20 \times 6 = 60 + 120 = 180$

これは、すべての面についてその辺の本数を足し合わせた数です。ここで大事なのは、多面体の1本1本の辺は、必ずちょうど2つの面によって共有されている、ということです(1本の辺を境目にして、両側に面が1つずつあります)。ですから、先ほどの「延べ数180」は、本当の辺の数をちょうど2回ずつ数えたものになっています。よって、

$e = \frac{180}{2} = 90$

頂点の数を求める

辺の数と同じように、今度は「頂点に集まる辺の延べ数」を考えます。1本の辺には端点が2つあるので、すべての辺について端点の数を足し合わせると、

$2 \times e = 2 \times 90 = 180$

これは、すべての頂点について、そこに集まる辺の本数を足し合わせたものと同じ数になります(1本の辺が、その両端の頂点でそれぞれ1回ずつ数えられるからです)。問題文より、どの頂点にも正五角形1個・正六角形2個の合計3個の面が集まっており、多面体では1つの頂点に集まる面の数と辺の数は必ず一致するので、どの頂点にも辺が3本ずつ集まっています。よって、頂点の数を $v$ とすると、

$3 \times v = 180$

$v = 60$

オイラーの多面体定理で確認する

最後に、求めた $v=60$, $e=90$, $f=32$ が正しいかどうかを、オイラーの多面体定理

$v - e + f = 2$

で確かめてみます。

$60 - 90 + 32 = 2$

確かに成り立っているので、答えは正しいと確認できます。

答え:辺の数 $e=90$、頂点の数 $v=60$

練習問題

問題

正十二面体は、正五角形の面12個だけからなる正多面体であり、どの頂点にも面が3個ずつ集まっています。オイラーの多面体定理を使って、正十二面体の辺の数と頂点の数を求めなさい。

答え

面の数は $f=12$ です。

辺の延べ数は $12 \times 5 = 60$ で、1本の辺は2つの面に共有されるので、辺の数は $e = 60 \div 2 = 30$ です。

頂点に集まる辺の延べ数は $2e = 60$ で、どの頂点にも辺が3本ずつ集まっているので、頂点の数は $v = 60 \div 3 = 20$ です。

確認:$v - e + f = 20 - 30 + 12 = 2$ となり、オイラーの多面体定理が成り立っています。

辺の数 30、頂点の数 20