漸化式の基本形

漸化式 $a_{n+1}=a_n+3$ は、「次の項は今の項に定数$3$を足したもの」という形なので、パターン1（等差数列型）です。これは公差 $d=3$ の等差数列であることを表しています。

等差数列の一般項の公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ に、$a_1=5$、$d=3$ を代入します。

$a_n = 5+(n-1)\times3$

かっこを展開します。

$a_n = 5+3n-3$

$a_n = 3n+2$

したがって、一般項は $a_n = 3n+2$ です。

（確認: $a_1=3\times1+2=5$（初項と一致）。$a_2=3\times2+2=8$。漸化式で計算すると $a_2=a_1+3=5+3=8$ となり一致します。）

漸化式 $a_{n+1}=3a_n$ は、「次の項は今の項を$3$倍したもの」という形なので、パターン2（等比数列型）です。これは公比 $r=3$ の等比数列であることを表しています。

等比数列の一般項の公式 $a_n=a_1 r^{\,n-1}$ に、$a_1=2$、$r=3$ を代入します。

$a_n = 2 \times 3^{\,n-1}$

したがって、一般項は $a_n = 2\times 3^{\,n-1}$ です。

（確認: $a_1=2\times3^0=2\times1=2$（初項と一致）。$a_2=2\times3^1=6$。漸化式で計算すると $a_2=3a_1=3\times2=6$ となり一致します。）

漸化式 $a_{n+1}=a_n+2n+1$ は、$a_{n+1}-a_n = 2n+1$ と書き直せます。右辺が定数ではなく$n$の式になっているので、これはパターン3（階差数列型）です。階差数列は $f(n)=2n+1$ です。

階差数列から元の数列を求める公式 $a_n = a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$（$n\geq2$）を使います。$a_1=1$、$f(k)=2k+1$ を代入します。

$a_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$

$\Sigma$の中を、性質を使って分解します。

$\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) = 2\sum_{k=1}^{n-1}k + \sum_{k=1}^{n-1}1$

公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}k=\dfrac{m(m+1)}{2}$ を、$m=n-1$ として使います。

$\sum_{k=1}^{n-1}k = \frac{(n-1)n}{2}$

また、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}1 = n-1$ です。これらを代入します。

$\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) = 2\times\frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = (n-1)n+(n-1)$

$(n-1)$ が共通因数なので、くくり出します。

$(n-1)n+(n-1) = (n-1)(n+1)$

これは $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ の形をしているので、$(n-1)(n+1)=n^2-1$ と展開できます。したがって、

$a_n = 1+(n^2-1) = n^2$

この式が $n=1$ でも成り立つか確認すると、$a_1=1^2=1$ となり、もとの初項と一致します。したがって、この式はすべての$n$で成り立ちます。

したがって、一般項は $a_n = n^2$ です。

（確認: 漸化式で直接計算すると、$a_2=a_1+2\times1+1=1+3=4=2^2$、$a_3=a_2+2\times2+1=4+5=9=3^2$ となり、たしかに $a_n=n^2$ と一致します。）

公差 $-2$ の等差数列なので、$a_n=-3+(n-1)\times(-2) = -2n-1$

公比 $2$ の等比数列なので、$a_n=3\times2^{\,n-1}$

$a_n = 2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^k = 2+\dfrac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = 2+\dfrac{3^n-3}{2} = \dfrac{3^n+1}{2}$（$n=1$でも $\frac{3+1}{2}=2$ となり成立）