数学III

微分法

数学IIの微分法をさらに発展させ、あらゆる関数の導関数を求められるようになります。

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この単元のトピック一覧

• 積・商の微分法 数学IIで学んだ導関数の定義をもとに、2つの関数の積や商になっている関数の導関数を求める、積の微分法・商の微分法の公式を学びます。
• 合成関数の微分法 「関数の中に関数が入っている」合成関数の微分法(連鎖律)を学び、$\{g(x)^n\}'=n\,g(x)^{n-1}g'(x)$ という非常によく使う形の微分を扱えるようにします。
• 三角関数・指数関数・対数関数の導関数 三角関数($\sin x,\cos x,\tan x$)、指数関数($e^x,a^x$)、対数関数($\log x,\log_a x$)の導関数の公式を、極限の定義に戻って導きながら学びます。
• 媒介変数で表された関数の微分 $x=f(t)$、$y=g(t)$ のように、共通の変数 $t$(媒介変数)を使って表された関数について、$rac{dy}{dx}$ を $t$ を使って求める方法を学びます。
• 陰関数の微分・高次導関数 $y$ が $x$ の式として直接解かれていない「陰関数」の微分のしかたと、導関数をさらに微分してできる「高次導関数」の考え方を学びます。
• 接線・法線と関数の増減 導関数を使って、曲線上の点における接線・法線の方程式を求める方法と、導関数の符号から関数の増加・減少や極大・極小を調べる方法を学びます。
• 第2次導関数とグラフの凹凸 第2次導関数 $f''(x)$ の符号から、グラフの凹凸(下に凸・上に凸)や変曲点を調べる方法と、極大・極小を判定するもう1つの方法(第2次導関数の判定法)を学びます。
• 速度・加速度と近似式への応用 微分を使って、直線上・平面上を動く点の速度・加速度を求める方法と、$f(a+h)pprox f(a)+f'(a)h$ という近似式を使っておおよその値を求める方法を学びます。