標準正規分布と確率計算

要点整理

標準化とは

前の単元で、正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ を1次式で変換すると、変換後の確率変数もやはり正規分布に従うことを学びました。この性質を使って、$X$ を次のように変換してみましょう。

$Z = \frac{X-m}{\sigma} = \frac{1}{\sigma}X - \frac{m}{\sigma}$

これは $a=\dfrac{1}{\sigma}$、$b=-\dfrac{m}{\sigma}$ とした1次式 $aX+b$ の形です。前の単元の公式 $aX+b\sim N(am+b,\ a^2\sigma^2)$ を使うと、$Z$ が従う正規分布の平均は、

$am+b = \frac{1}{\sigma}\times m + \left(-\frac{m}{\sigma}\right) = \frac{m}{\sigma}-\frac{m}{\sigma} = 0$

分散は、

$a^2\sigma^2 = \left(\frac{1}{\sigma}\right)^2\times\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$

したがって、$Z\sim N(0,1)$ となります。つまり、どんな平均・標準偏差を持つ正規分布であっても、$Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$ という変換（標準化と呼びます）を行うと、必ず平均$0$、分散$1$の正規分布に従うようになるのです。この特別な正規分布 $N(0,1)$ のことを、標準正規分布と呼びます。

標準化を行う理由は、標準正規分布という「ただ1種類」の分布の性質さえ詳しく調べておけば、平均や標準偏差がどんな値の正規分布であっても、標準化することで同じ表を使って確率を計算できるようになるからです。

正規分布表の使い方

標準正規分布 $N(0,1)$ において、$Z$が$0$から$z$までの範囲に入る確率 $P(0\leq Z\leq z)$ の値をまとめたものを正規分布表と呼びます。この単元では、次の値を使って計算します。

$z$	$0.50$	$1.00$	$1.50$	$1.64$	$1.96$	$2.00$	$2.50$	$3.00$
$P(0\leq Z\leq z)$	$0.1915$	$0.3413$	$0.4332$	$0.4495$	$0.4750$	$0.4772$	$0.4938$	$0.4987$

正規分布表を使うときに大事な、標準正規分布の性質を確認しておきます。

全体の面積は$1$: グラフ全体の面積は $1$ なので、右半分（$Z\geq0$の部分）の面積はちょうど $0.5$ です。
左右対称: グラフは $Z=0$ を中心に左右対称なので、$P(-z\leq Z\leq0) = P(0\leq Z\leq z)$ が成り立ちます。
片側の確率: $P(Z\geq z) = 0.5 - P(0\leq Z\leq z)$ が成り立ちます（全体の右半分$0.5$から、$0$から$z$までの部分を引けば、$z$より右側の部分が残ります）。

一般の正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従う $X$ について、ある範囲の確率を求めたいときは、次の手順で計算します。

求めたい範囲の端の値を、標準化の式 $z=\dfrac{x-m}{\sigma}$ を使って$z$の値に直す。
正規分布表を使って、必要な面積（確率）を求める。このとき、上で確認した性質（対称性や片側確率の考え方）を使って、表にある「$0$から$z$まで」の値を組み合わせる。

例題

例題1（基本）

問題

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50,100)$ に従うとき、$P(50\leq X\leq70)$ を求めなさい。

解答・解説を見る

$N(50,100)$ より、平均 $m=50$、分散 $\sigma^2=100$、標準偏差 $\sigma=\sqrt{100}=10$ です。

$X=50$、$X=70$ をそれぞれ標準化します。標準化の式 $z=\dfrac{x-m}{\sigma}$ を使います。

$X=50$ のとき:

$z = \frac{50-50}{10} = 0$

$X=70$ のとき:

$z = \frac{70-50}{10} = \frac{20}{10} = 2$

したがって、$P(50\leq X\leq70)$ を求めることは、$P(0\leq Z\leq2)$ を求めることと同じです。正規分布表から、

$P(0\leq Z\leq2) = 0.4772$

したがって、$P(50\leq X\leq70) = 0.4772$ です。

例題2（標準）

問題

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50,100)$ に従うとき、$P(40\leq X\leq65)$ を求めなさい。

解答・解説を見る

$N(50,100)$ より、平均 $m=50$、標準偏差 $\sigma=10$ です。

$X=40$、$X=65$ をそれぞれ標準化します。

$X=40$ のとき:

$z = \frac{40-50}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

$X=65$ のとき:

$z = \frac{65-50}{10} = \frac{15}{10} = 1.5$

したがって、求めたい確率は $P(-1\leq Z\leq1.5)$ です。この範囲は、$Z=0$をまたいで左右に広がっているので、$0$より左の部分と右の部分に分けて考えます。

$P(-1\leq Z\leq1.5) = P(-1\leq Z\leq0) + P(0\leq Z\leq1.5)$

標準正規分布の左右対称性から、$P(-1\leq Z\leq0) = P(0\leq Z\leq1)$ です。正規分布表から、

$P(0\leq Z\leq1) = 0.3413, \qquad P(0\leq Z\leq1.5) = 0.4332$

これらを足し合わせます。

$P(-1\leq Z\leq1.5) = 0.3413+0.4332 = 0.7745$

したがって、$P(40\leq X\leq65) = 0.7745$ です。

例題3（応用）

問題

あるテストの得点 $X$ が正規分布 $N(60,225)$ に従うとします。上位 $5\%$ に入るためには、少なくとも何点必要か求めなさい。ただし、$P(0\leq Z\leq1.64)=0.4495$ を使ってよいものとします。

解答・解説を見る

$N(60,225)$ より、平均 $m=60$、標準偏差 $\sigma=\sqrt{225}=15$ です。

「上位$5\%$に入る」とは、得点が、ある値 $x$ 以上になる確率がちょうど $0.05$（$5\%$）であるような境目の点数 $x$ を求めるということです。式で書くと、

$P(X\geq x) = 0.05$

を満たす $x$ を求めればよいことになります。$x$ を標準化した値を $z$ とすると、$P(X\geq x) = P(Z\geq z)$ です。正規分布表の性質 $P(Z\geq z) = 0.5-P(0\leq Z\leq z)$ を使うと、

$0.5 - P(0\leq Z\leq z) = 0.05$

両辺に $P(0\leq Z\leq z)$ を足し、両辺から $0.05$ を引くと、

$P(0\leq Z\leq z) = 0.5-0.05 = 0.45$

問題文で与えられた値 $P(0\leq Z\leq1.64)=0.4495$ は、$0.45$ に非常に近い値です。したがって、

$z \approx 1.64$

と考えます。標準化の式 $z=\dfrac{x-m}{\sigma}$ を、$x$ について解く形に直します。両辺に $\sigma$ をかけます。

$z\sigma = x-m$

両辺に $m$ を足します。

$x = m+z\sigma$

この式に $m=60$、$\sigma=15$、$z=1.64$ を代入します。

$x = 60+1.64\times15$

$1.64\times15$ を計算します。

$1.64\times15 = 24.6$

$x = 60+24.6 = 84.6$

したがって、上位$5\%$に入るためには、少なくともおよそ $84.6$ 点、つまり実際の得点は整数なので85点以上が必要だと考えられます。

練習問題

問題1

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50,100)$ に従うとき、$P(30\leq X\leq50)$ を求めなさい。

答え

$z=\dfrac{30-50}{10}=-2$ より、求める確率は $P(-2\leq Z\leq0)=P(0\leq Z\leq2)=0.4772$

問題2

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50,100)$ に従うとき、$P(X\geq65)$ を求めなさい。

答え

$z=\dfrac{65-50}{10}=1.5$ より、$P(X\geq65)=P(Z\geq1.5)=0.5-0.4332=0.0668$

問題3

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50,100)$ に従うとき、$P(45\leq X\leq70)$ を求めなさい。

答え

$X=45$ のとき $z=-0.5$、$X=70$ のとき $z=2$。

$P(-0.5\leq Z\leq2)=P(0\leq Z\leq0.5)+P(0\leq Z\leq2)=0.1915+0.4772=0.6687$