章末問題

それぞれの項を対応する公式で積分します。

$\int 3\cos x\,dx = 3\sin x,\qquad \int(-2e^x)\,dx = -2e^x,\qquad \int\frac{1}{x}\,dx = \log|x|$

すべてを足し合わせ、積分定数 $C$ を付けます。

$\int\left(3\cos x-2e^x+\frac{1}{x}\right)dx = 3\sin x-2e^x+\log|x|+C$

答え:$3\sin x-2e^x+\log|x|+C$

$g(x)=x^3+2$ とおくと $g'(x)=3x^2$ です。積分の中の $x^2$ は $g'(x)=3x^2$ のちょうど $\dfrac13$ 倍なので、

$\int x^2(x^3+2)^3\,dx = \frac{1}{3}\int (x^3+2)^3\times 3x^2\,dx$

パターン「$\int g(x)^n g'(x)\,dx=\dfrac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C$」を $n=3$ で使います。

$\frac{1}{3}\int(x^3+2)^3\times 3x^2\,dx = \frac{1}{3}\times\frac{(x^3+2)^4}{4} = \frac{(x^3+2)^4}{12}$

答え:$\dfrac{(x^3+2)^4}{12}+C$

$f(x)=\log x$(微分すると簡単になる)、$g'(x)=x^2$(積分しやすい)とおきます。

$f'(x) = \frac{1}{x},\qquad g(x) = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$

部分積分法の公式に代入します。

$\int x^2\log x\,dx = \frac{x^3}{3}\log x - \int\frac{x^3}{3}\times\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^3}{3}\log x - \int\frac{x^2}{3}\,dx$

残りの積分を計算します。

$\int\frac{x^2}{3}\,dx = \frac{x^3}{9}$

したがって、

$\int x^2\log x\,dx = \frac{x^3}{3}\log x - \frac{x^3}{9}+C$

答え:$\dfrac{x^3}{3}\log x-\dfrac{x^3}{9}+C$

$x^4$ の部分は偶関数($(-x)^4=x^4$)、$x$ の部分は奇関数($(-x)=-x$)です。

偶関数の部分は、

$\int_{-1}^{1}x^4\,dx = 2\int_0^1 x^4\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = 2\times\frac15 = \frac25$

奇関数の部分は、

$\int_{-1}^{1}x\,dx = 0$

したがって、

$\int_{-1}^{1}(x^4+x)\,dx = \frac25+0 = \frac25$

答え:$\dfrac{2}{5}$

$1\leq x\leq e$ の範囲で $\dfrac{1}{x}>0$ なので、そのまま定積分します。

$S = \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \big[\log|x|\big]_1^e = \log e-\log 1$

$\log e=1$、$\log 1=0$ なので、

$S = 1-0 = 1$

答え:$1$

$x$ 軸のまわりの回転体の公式に $f(x)=\cos x$ を代入します。

$V = \pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x\,dx$

半角の公式 $\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ を使います。

$V = \pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2x}{2}\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2x)\,dx$

原始関数を求めます。

$\frac{\pi}{2}\left[x+\frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

上端 $x=\dfrac{\pi}{2}$ を代入します($\sin\pi=0$ に注意)。

$\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\sin\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{2}+0\right) = \frac{\pi}{2}\times\frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$

下端 $x=0$ を代入すると $0$ です。

答え:$\dfrac{\pi^2}{4}$

速度の符号を調べる

$\cos t$ は $0\leq t<\dfrac{\pi}{2}$ で正、$\dfrac{\pi}{2}

変位を求める

$\text{変位} = \int_0^{\pi}\cos t\,dt = \big[\sin t\big]_0^{\pi} = \sin\pi-\sin 0 = 0-0 = 0$

道のりを求める

$t=\dfrac{\pi}{2}$ で区間を分割します。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt = \big[\sin t\big]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1-0 = 1$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos t\,dt = \big[\sin t\big]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = 0-1 = -1$

2番目の区間は負の値になったので、絶対値を取って $1$ とします。

$\text{道のり} = 1+1 = 2$

答え:変位は $0$、道のりは $2$

(変位が $0$ なのは、最初と最後で同じ位置に戻ってきているからです。実際には $2$ の距離を動いている、ということが分かります。)

和の中を $f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ の形に見立てます。$\cos\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\times\dfrac{k}{n}\right)$ なので、$f(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$ とおけば、この和は区間 $[0,1]$ での区分求積法の形になっています。

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = \int_0^1\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx$

右辺の定積分を、置換積分法で計算します。$u=\dfrac{\pi}{2}x$ とおくと $du=\dfrac{\pi}{2}dx$、つまり $dx=\dfrac{2}{\pi}du$ です。積分区間は、$x=0$ のとき $u=0$、$x=1$ のとき $u=\dfrac{\pi}{2}$ となります。

$\int_0^1\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos u\times\frac{2}{\pi}\,du = \frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos u\,du$

$= \frac{2}{\pi}\big[\sin u\big]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}(1-0) = \frac{2}{\pi}$

答え:$\dfrac{2}{\pi}$