数学II / 微分・積分の考え
頻出解法パターン
パターン1: 極限の定義から微分係数・導関数を求める
こんな問題で使う
「定義に従って $f'(a)$(または $f'(x)$)を求めよ」という指示がある問題。まだ微分公式を使ってはいけない、基本に立ち返る問題です。
解法の手順
- $f(a+h)$ を計算し、展開して整理する。
- $f(a+h)-f(a)$ を計算する(同類項が消えて、必ず $h$ を因数に持つ式になる)。
- $h$ でくくり、分母の $h$ と約分する。
- $h\to0$ の極限をとる($h$ を含む項は $0$ になる)。
具体例
$f(x)=x^2+2x$ のとき、$f(a+h)-f(a)=(a+h)^2+2(a+h)-(a^2+2a)=2ah+h^2+2h=h(2a+h+2)$。$h$ で割って $h\to0$ とすると $f'(a)=2a+2$。
パターン2: かけ算の形をした式は展開してから微分・積分する
こんな問題で使う
$(x+1)(x-2)^2$ のように、積の形のままでは微分・積分の公式が直接使えない式が与えられている問題。
解法の手順
- かけ算の部分をすべて展開し、$x$ の多項式(足し算・引き算だけの形)に直す。
- 同類項をまとめて整理する。
- 整理した多項式に対して、項ごとに微分公式・積分公式を当てはめる。
具体例
$f(x)=(x-1)(x+3)$ を積分するときは、先に $x^2+2x-3$ に展開してから $\displaystyle\int(x^2+2x-3)\,dx=\dfrac{x^3}{3}+x^2-3x+C$ と計算する。
パターン3: 接線の方程式を作る(2つのケース)
こんな問題で使う
「曲線上の点における接線を求めよ」、または「曲線外の点から引いた接線を求めよ」という問題。
解法の手順
- 接点が分かっている場合: $f'(x)$ を求め、接点の $x=a$ を代入して傾き $f'(a)$ と $y$座標 $f(a)$ を求め、$y-f(a)=f'(a)(x-a)$ に代入する。
- 接点が分かっていない場合(曲線外の点から引く場合): 接点の $x$ 座標を文字 $t$ とおき、接線の式を $t$ を使って表す。その直線が指定された点を通るという条件から $t$ の方程式を立てて解き、得られた $t$ の値を接線の式に戻す。
具体例
点 $(0,-4)$ から $y=x^2$ に引いた接線を求めるとき、接点を $(t,t^2)$ とおくと接線は $y=2tx-t^2$。これが $(0,-4)$ を通るので $-4=-t^2$ より $t^2=4$、$t=\pm2$。それぞれ代入して2本の接線が求まる。
パターン4: 増減表を作って極値・グラフの概形を調べる
こんな問題で使う
「$f(x)$ の増減を調べよ」「極大値・極小値を求めよ」「グラフの概形をかけ」という問題。
解法の手順
- $f'(x)$ を求め、因数分解する。
- $f'(x)=0$ の解を求める。
- 各解の間・外側の区間で $f'(x)$ の符号を(代表値を代入して)調べる。
- 増減表にまとめ、符号がプラスからマイナスに変わる点を極大、マイナスからプラスに変わる点を極小と判定する。
- 極値の $x$ 座標を $f(x)$ に代入して、極値そのものを計算する。
具体例
$f(x)=x^3-12x$ なら $f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$。$x=-2$ で極大値 $f(-2)=-8+24=16$、$x=2$ で極小値 $f(2)=8-24=-16$。
パターン5: 3次方程式の実数解の個数を極値の符号で判定する
こんな問題で使う
「方程式 $f(x)=k$(または $f(x)=0$)の異なる実数解の個数を求めよ」「異なる3つの実数解を持つ $k$ の範囲を求めよ」という問題。
解法の手順
- 左辺を $f(x)$ とみて増減表を作り、極大値 $M$ と極小値 $m$($M>m$ の場合)を求める。
- $k$(または $0$)が $m$ と $M$ の間にあるか、境目にあるか、外側にあるかを調べる。
- $m
具体例
$f(x)=x^3-3x$ の極大値は $f(-1)=2$、極小値は $f(1)=-2$。方程式 $x^3-3x=k$ が異なる3つの実数解を持つのは $-2 こんな問題で使う 「$x\ge a$ のとき、不等式 $f(x)\ge g(x)$ が成り立つことを証明せよ」という問題。 解法の手順 具体例 $x\ge0$ で $x^3+2\ge3x$ を示すには、$h(x)=x^3-3x+2$ の $x\ge0$ における最小値を調べる。$h'(x)=3(x-1)(x+1)$ より $x=1$ で最小値 $h(1)=0$ をとるので、$h(x)\ge0$ が成り立つ。 こんな問題で使う 放物線と直線、または2つの放物線で囲まれた面積を求める問題。 解法の手順 具体例 $y=x^2-1$ と $y=-x+1$ の交点は $x^2-1=-x+1$ より $x^2+x-2=0$、$(x+2)(x-1)=0$ で $x=-2,1$。差は $(-x+1)-(x^2-1)=-x^2-x+2=-(x+2)(x-1)$ で $a=-1$。面積は $1\times\dfrac{(1-(-2))^3}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$。
パターン6: 不等式の証明に最小値を利用する
パターン7: 面積の6分の1公式で計算を時短する