鋭角の三角比(sin, cos, tan)の定義

要点整理

「図形と計量」という単元の、いちばん最初のテーマです。ここで学ぶ sin・cos・tan は、この先ずっと使い続ける道具になるので、記号の意味を1つずつ丁寧に確認しながら読み進めてください。中学校で学んだ「三角形の相似(形が同じで大きさが違う図形)」と「三平方の定理($a^2 + b^2 = c^2$)」は、すでに知っているものとして話を進めます。

1. 三角比とは何か

直角三角形を1つ用意し、直角ではないほうの角(これを鋭角と呼びます。90°より小さい角のことです)の1つに注目します。この角の大きさを $\theta$(シータ、と読みます。角の大きさを表すためによく使われる文字です)とします。

ここで大事な事実があります。それは、$\theta$ の大きさが決まれば、三角形の大きさ(辺の長さ)がどれだけ変わっても、2辺の長さの比はいつも同じ値になる、ということです。

なぜそうなるのでしょうか。$\theta$ の大きさが同じ直角三角形は、すべて相似(対応する角がすべて等しく、形が同じ図形)になります。相似な図形では、対応する辺の長さの比がすべて等しくなります。ですから、三角形を2倍、3倍と拡大・縮小しても、辺と辺の比の値そのものは変化しません。つまり、この比の値は「三角形の大きさ」にはよらず、「角 $\theta$ の大きさ」だけで1つに決まる値なのです。

この、鋭角の大きさによって決まる辺の比のことを三角比と呼びます。三角比には sin(正弦、せいげん)・cos(余弦、よげん)・tan(正接、せいせつ)の3種類があり、これから1つずつ定義していきます。

2. 3辺の名前を確認しよう

直角三角形 $ABC$ を考えます。頂点 $C$ が直角(90°)で、頂点 $A$ にある鋭角を $\theta$ とします。このとき、3つの辺には、それぞれ次のような呼び方があります。

• 辺 $AB$(直角 $C$ に向かい合う辺、つまり3辺の中でいちばん長い辺):斜辺(しゃへん)
• 辺 $BC$($\theta$ に向かい合う辺):対辺(たいへん)
• 辺 $AC$($\theta$ に隣り合う辺のうち、斜辺ではないほう):底辺(ていへん)

この3つの名前は、どれも「角 $\theta$ から見て、その辺がどこにあるか」で決まっています。三角形の向きが変わっても、$\theta$ から見た位置関係で名前を判断するようにしましょう。

3. sin・cos・tan の定義

上で確認した3つの辺の名前を使って、sin・cos・tan は次のように定義されます。

$\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{BC}{AB}$

$\cos\theta = \frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}} = \frac{AC}{AB}$

$\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{底辺}} = \frac{BC}{AC}$

どれも「2つの辺の長さの比」であり、分母と分子がそれぞれ何であるかを覚えることが最初の一歩です。整理すると、次のようになります。

• sin(正弦)は、斜辺のうち対辺が占める割合
• cos(余弦)は、斜辺のうち底辺が占める割合
• tan(正接)は、底辺の長さに対して対辺がどれだけの割合か

なお、tan の定義を sin と cos を使って書き直すこともできます。

$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\dfrac{BC}{AB}}{\dfrac{AC}{AB}} = \frac{BC}{AB} \times \frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AC} = \tan\theta$

途中の式変形を確認しておきましょう。$\dfrac{BC}{AB}$ を $\dfrac{AC}{AB}$ で割るというのは、「$\dfrac{AC}{AB}$ の逆数である $\dfrac{AB}{AC}$ をかける」ことと同じです。そのあと $AB$ を約分すると、$\dfrac{BC}{AC}$ だけが残ります。これは $\tan\theta$ の定義と一致しますから、

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

という関係が成り立つことが確認できました。この関係は、三角比の相互関係を学ぶ次のテーマでさらに詳しく使いますが、tan の意味を思い出すときの手がかりとしても便利です。

4. 代表的な角度で計算してみよう

$\theta = 30°, 45°, 60°$ については、中学校で学んだ図形を使って三角比の値を求めることができます。

(a) $\theta = 45°$ のとき

直角二等辺三角形(2つの辺の長さが等しく、その間の角が90°である三角形)を使います。2つの直角をはさむ辺(対辺と底辺にあたる辺)の長さをどちらも $1$ とすると、三平方の定理より斜辺の長さは、

$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

となります。対辺 $=1$、底辺 $=1$、斜辺 $=\sqrt{2}$ なので、

$\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45° = \frac{1}{1} = 1$

($\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の分母を有理化すると、分母・分子に $\sqrt{2}$ をかけて $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ になります。)

(b) $\theta = 30°, 60°$ のとき

1辺の長さが $2$ の正三角形を、頂点から底辺に垂直な線でまっすぐ2つに分けると、辺の長さの比が $1 : \sqrt{3} : 2$ の直角三角形ができます。このとき、長さ $1$ の辺に向かい合う角が $30°$、長さ $\sqrt{3}$ の辺に向かい合う角が $60°$、斜辺(長さ $2$)に向かい合う角が直角になります。

$\theta = 30°$ のとき、対辺 $=1$、底辺 $=\sqrt{3}$、斜辺 $=2$ なので、

$\sin 30° = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\theta = 60°$ のときは、対辺と底辺が入れかわり、対辺 $=\sqrt{3}$、底辺 $=1$、斜辺 $=2$ となるので、

$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60° = \frac{1}{2}, \qquad \tan 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

これら30°・45°・60°の値は、この先の単元でも繰り返し使う最重要の値です。図をかいて、辺の比 $1:1:\sqrt{2}$ と $1:\sqrt{3}:2$ を思い出せるようにしておきましょう。

例題

例題1(基本)

問題

直角三角形 $ABC$ において、角 $C$ が直角、$BC = 3$、$AC = 4$、$AB = 5$ である。角 $A$ を $\theta$ とするとき、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

まず、$\theta$ から見て3辺がそれぞれ何と呼ばれるかを確認します。

• 斜辺:直角 $C$ に向かい合う辺 $AB$ なので、斜辺 $= AB = 5$
• 対辺:$\theta$(角 $A$)に向かい合う辺 $BC$ なので、対辺 $= BC = 3$
• 底辺:$\theta$ に隣り合う辺のうち斜辺でない辺 $AC$ なので、底辺 $= AC = 4$

（確認:三平方の定理で $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ となり、直角三角形であることと矛盾しません。)

これらを定義の式にあてはめます。

$\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{3}{5}$

$\cos\theta = \frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}} = \frac{4}{5}$

$\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{底辺}} = \frac{3}{4}$

答え: $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$、$\cos\theta = \dfrac{4}{5}$、$\tan\theta = \dfrac{3}{4}$

例題2(標準)

問題

$\theta$ は鋭角とする。$\sin\theta = \dfrac{5}{13}$ であるとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

$\sin\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \dfrac{5}{13}$ ですから、対辺の長さと斜辺の長さの比が $5 : 13$ である直角三角形を考えればよいことになります。比が同じであれば三角比の値も同じになるので、いちばん簡単な場合として、対辺 $=5$、斜辺 $=13$ の直角三角形で考えます。

底辺の長さを $x$ とすると、三平方の定理より、

$x^2 + 5^2 = 13^2$

$5^2 = 25$、$13^2 = 169$ ですから、

$x^2 + 25 = 169$

両辺から $25$ を引くと、

$x^2 = 169 - 25 = 144$

$x$ は辺の長さなので正の数です。$144 = 12^2$ ですから、

$x = 12$

よって、底辺 $=12$ です。3辺(対辺 $5$、底辺 $12$、斜辺 $13$)がそろったので、定義にあてはめます。

$\cos\theta = \frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}} = \frac{12}{13}$

$\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{底辺}} = \frac{5}{12}$

答え: $\cos\theta = \dfrac{12}{13}$、$\tan\theta = \dfrac{5}{12}$

例題3(応用)

問題

地面から目までの高さが $1.5\,\text{m}$ の人が、塔の真下から水平に $40\,\text{m}$ 離れた地点に立って、塔の先端を見上げたところ、見上げる角度(仰角、ぎょうかく)が $30°$ であった。この塔の高さを、$\sqrt{3} = 1.732$ として、小数第2位を四捨五入して求めなさい。

解答・解説を見る

まず状況を図でイメージします。人の目の位置を点 $E$、塔の先端を点 $T$、目の高さと同じ高さで塔と交わる点を $H$ とすると、直角三角形 $EHT$ ができます($EH$ は水平方向、$HT$ は塔の一部で垂直方向、角 $H$ が直角です)。

• 角 $E$(仰角)$=30°$
• $EH = 40\,\text{m}$(水平距離)
• 求めたいのは $HT$(目の高さから塔の先端までの高さ)

角 $E$ から見ると、$EH$ は角 $E$ に隣り合う辺で斜辺ではないので底辺、$HT$ は角 $E$ に向かい合う辺なので対辺にあたります。したがって、

$\tan 30° = \frac{\text{対辺}}{\text{底辺}} = \frac{HT}{EH}$

$\tan 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ でしたから、

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{HT}{40}$

両辺に $40$ をかけると、

$HT = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$

ここに $\sqrt{3} = 1.732$ を代入します。

$HT = \frac{40 \times 1.732}{3} = \frac{69.28}{3} = 23.0933\ldots$

小数第2位を四捨五入すると、$HT \approx 23.09\,\text{m}$ です。

最後に、塔の高さ全体は「目の高さ $EH$ の分の地面からの高さ($1.5\,\text{m}$)」に $HT$ を足したものになります。

$1.5 + 23.09 = 24.59$

答え: 塔の高さは約 $24.59\,\text{m}$

練習問題

問題

直角三角形 $ABC$ において、角 $C$ が直角、$BC = 6$、$AB = 10$ である。角 $A$ を $\theta$ とするとき、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の値を求めなさい。

答え

角 $A$ から見て、$BC$ は対辺、$AB$ は斜辺です。残る $AC$(底辺)を三平方の定理で求めると、$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ より $AC = 8$。

よって、$\sin\theta = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$、$\cos\theta = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$、$\tan\theta = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$