加法定理

要点整理

なぜ加法定理が必要なのか

「$\cos(\alpha+\beta)$」の値は、「$\cos\alpha+\cos\beta$」とは全く別の値になります(三角関数はかけ算のように分配できません)。$15°=45°-30°$ のように、有名角の和・差で表せる角の三角関数の値を求めたいとき、この2つの角の値から計算する方法が加法定理です。加法定理は三角関数の公式の中で最も重要なものの1つで、この先に学ぶ2倍角の公式や合成の公式は、すべて加法定理から導かれます。

余弦の加法定理の導出

まず $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ を導きます。単位円上に2点 $\mathrm{A}(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$\mathrm{B}(\cos\beta,\sin\beta)$ をとります。

方法1: 2点間の距離の公式を使う

$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の距離の2乗 $\mathrm{AB}^2$ を、座標を使って計算します。

$\mathrm{AB}^2 = (\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2$

右辺を展開します。$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ の公式を使うと、

$= \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta + \sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta$

項を並べ替えます。

$= (\cos^2\alpha+\sin^2\alpha) + (\cos^2\beta+\sin^2\beta) - 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta$

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$(相互関係の公式)を使うと、

$\mathrm{AB}^2 = 1+1-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) = 2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \quad \cdots ①$

方法2: 余弦定理を使う

一方、三角形 $\mathrm{OAB}$ に注目すると、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$(どちらも単位円の半径)で、角 $\mathrm{AOB}$ の大きさは $\alpha-\beta$ です。余弦定理($c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$)を使うと、

$\mathrm{AB}^2 = \mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2-2\cdot\mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}\cos(\alpha-\beta) = 1+1-2\cos(\alpha-\beta) = 2-2\cos(\alpha-\beta) \quad \cdots ②$

①と②はどちらも同じ $\mathrm{AB}^2$ を表しているので、

$2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) = 2-2\cos(\alpha-\beta)$

両辺から $2$ を引き、$-2$ で割ると、

$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)$

すなわち、

$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

が得られます。

他の公式を導く

$\cos(\alpha+\beta)$: $\alpha+\beta = \alpha-(-\beta)$ と考えて、上の公式の $\beta$ を $-\beta$ に置き換えます。$\cos(-\beta)=\cos\beta$、$\sin(-\beta)=-\sin\beta$(これは単位円で角の符号を反転させると $x$座標は変わらず $y$座標だけ符号が反転することから分かります)を使うと、

$\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha-(-\beta)) = \cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta)$: $\sin\theta = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$ という関係(これは直角三角形の性質、または単位円で $90°$ 回転させた関係から成り立ちます)を使います。

$\sin(\alpha+\beta) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)$

これに $\cos(\alpha-\beta)$ の公式を、$\alpha$ を $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ に置き換えて適用すると、

$= \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta + \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$、$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$ を使うと、

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta)$: $\beta$ を $-\beta$ に置き換えて、

$\sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha+(-\beta)) = \sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta) = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha+\beta)$: $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の定義から、

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$

分母・分子を $\cos\alpha\cos\beta$($\neq 0$)で割ります。

$= \dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\dfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\dfrac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

同様に、$\tan(\alpha-\beta) = \dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$ が得られます。

例題

例題1(基本)

問題 加法定理を使って、$\cos 75°$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

$75° = 45°+30°$ と、有名角の和で表せることに注目します。余弦の加法定理($\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$)を使います。

$\cos 75° = \cos(45°+30°) = \cos 45°\cos 30° - \sin 45°\sin 30°$

それぞれの値($\cos45°=\dfrac{\sqrt2}{2}$、$\cos30°=\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\sin45°=\dfrac{\sqrt2}{2}$、$\sin30°=\dfrac{1}{2}$)を代入します。

$= \frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

例題2(標準)

問題 $\alpha$ は第2象限の角で $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$、$\beta$ は第3象限の角で $\cos\beta=-\dfrac{12}{13}$ とする。このとき $\sin(\alpha+\beta)$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

加法定理を使うには $\cos\alpha$ と $\sin\beta$ の値も必要なので、先に求めます。

$\cos\alpha$ を求める: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ より、

$\cos^2\alpha = 1-\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\alpha$ は第2象限なので $\cos\alpha<0$ より $\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}$。

$\sin\beta$ を求める: $\sin^2\beta+\cos^2\beta=1$ より、

$\sin^2\beta = 1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1-\frac{144}{169} = \frac{25}{169}$

$\beta$ は第3象限なので $\sin\beta<0$ より $\sin\beta=-\dfrac{5}{13}$。

加法定理を適用: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ に代入します。

$\sin(\alpha+\beta) = \frac{3}{5}\times\left(-\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right)\times\left(-\frac{5}{13}\right)$

それぞれの項を計算します。

$= -\frac{36}{65} + \frac{20}{65} = -\frac{16}{65}$

例題3(応用)

問題 $\tan\alpha=2$、$\tan\beta=3$ のとき、$\tan(\alpha+\beta)$ の値を求めなさい。また、$\alpha+\beta$ はどのような角か(有名角と比べて)分かることを述べなさい。

解答・解説を見る

正接の加法定理 $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ に $\tan\alpha=2$、$\tan\beta=3$ を代入します。

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{2+3}{1-2\times3} = \frac{5}{1-6} = \frac{5}{-5} = -1$

$\tan(\alpha+\beta)=-1$ となる角のうち、$0<\alpha+\beta<\pi$(注: $\tan\alpha, \tan\beta$ がともに正なので $\alpha,\beta$ はともに鋭角と考えられ、$\alpha+\beta$ は $0$ から $\pi$ の間にある)の範囲では、$\alpha+\beta = \dfrac{3\pi}{4}$($135°$)であることが分かります。

練習問題

問題 加法定理を使って $\sin 15°$ の値を求めなさい。

答え

$15°=45°-30°$ として $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ を使うと、

$\sin15° = \sin45°\cos30°-\cos45°\sin30° = \frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$