数学A / 場合の数と確率
円順列・重複順列
要点整理
数学Aの「場合の数と確率」では、すでに順列(異なるn個のものから異なるr個を取り出して1列に並べる場合の数)を学びました。この単元では、その考え方を土台にして、「並べる形が円になる場合」と「同じものを繰り返し使ってよい場合」という2つの新しいパターンを学びます。
円順列とは何か
まず、円順列という言葉の意味を確認します。円順列とは、異なるものを円形に並べる並べ方の数のことです。ここでとても大切なポイントがあります。円形に並んだものは、全体を回転させても見た目の並び方(誰の右隣が誰か、というつながり)が変わりません。そのため、回転させて同じ配置になるものは、すべて「同じ1通りの並び方」として数えます。
具体的な例で考えてみましょう。A、B、Cの3人を1列に並べる場合(これは普通の順列です)、並べ方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りあります。書き出すと次の6通りです。
$ ABC,\ ACB,\ BAC,\ BCA,\ CAB,\ CBA $
ここで、この6通りを「円形に並べたときに同じ配置になるかどうか」で仲間分けしてみます。ABCを円形に並べたものを、そのまま時計回りにずらして読み直すと、BCA、CABという並び方と同じ配置(誰の右隣が誰か、という関係がすべて同じ)になります。つまり、ABC、BCA、CABの3つは、円形に並べると全部同じ1つの配置です。同じように、ACB、CBA、BACの3つも、円形に並べると同じ1つの配置になります。
つまり、6通りの1列の並べ方が、3個ずつのグループに分かれて、円形では2種類の配置しかない、ということが分かりました。式で表すと次のようになります。
$ \frac{3!}{3} = \frac{6}{3} = 2 $
この「3で割る」という部分の3は、もとの人数(3人)と同じ数です。一般に、n人を円形に並べるとき、1列に並べる場合の数 $n!$ の中には、回転させると同じ配置になるものがちょうどn個ずつ含まれています(円を1人分ずつ回転させる方法がn通りあるからです)。したがって、円順列の総数は次の公式で求められます。
$ 円順列の総数 = \frac{n!}{n} = (n-1)! $
この公式には、別の考え方による求め方もあります。回転させても配置が変わらないということは、円のどこか1か所を「基準の位置」として固定してしまってよい、ということです。そこで、n人のうち特定の1人の座る位置を固定してしまいます。すると、残りの $n-1$ 人を、残りの $n-1$ 個の席に1列に並べるのと同じ計算になるので、並べ方は $(n-1)!$ 通りと直接求めることができます。どちらの考え方でも、同じ公式 $(n-1)!$ にたどり着くことを確認しておきましょう。
重複順列とは何か
次に、重複順列という考え方を見ていきます。これまでの順列は、「一度使ったものはもう使えない(同じ人を2回並べることはできない)」という前提でした。しかし、重複順列では、同じものを何度でも使ってよいという条件のもとで並べ方を考えます。
例えば、赤・白の2種類の旗があるとして、これを3本のポールに1本ずつ立てて信号を作るとします。同じ色の旗を何度使ってもよいとすると、1本目のポールの色の決め方は「赤」か「白」の2通りです。2本目のポールも、1本目で使った色をもう一度使ってよいので、やはり2通りです。3本目も同じく2通りです。
このように、それぞれのポール(位置)の色の決め方が、他のポールの結果に関係なく独立に決まるので、すでに学んだ積の法則(それぞれの場合の数を掛け合わせる考え方)がそのまま使えます。
$ 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8 通り$
一般に、異なるn種類のものから、同じものを何度でも選んでよいという条件でr個を並べる場合(並べる順番も区別する場合)、それぞれの位置の選び方がn通りずつあり、それがr個の位置分だけ独立に続くので、次の公式が成り立ちます。
$ 重複順列の総数 = n^r $
ここで、右上の小さい数字 $r$ は「nを何回掛け合わせるか」を表す指数(累乗の回数)です。普通の順列 $_nP_r$ と重複順列の一番の違いは、「同じものを2回以上使ってよいかどうか」という点にあることをしっかり区別しておきましょう。
発展:じゅず順列(数珠順列)
円順列をさらに一歩進めた考え方として、じゅず順列(数珠順列)というものがあります。これは、玉をひもに通してネックレスや数珠のような輪を作る場合のように、回転させて同じ配置になるものだけでなく、裏返して(表と裏をひっくり返して)同じ配置になるものも、同じ1通りとみなす並べ方です。
円順列の $(n-1)!$ 通りの中には、玉がすべて異なるとき、ある並びとそれを裏返した並び(鏡に映したような並び)が必ずペアで含まれています。じゅず順列では、この2つを同じものとみなすので、円順列の結果をさらに2で割ります。
$ じゅず順列の総数 = \frac{(n-1)!}{2} \quad (n \geq 3) $
この公式は、「回転しても裏返しても同じとみなす」という条件がついているときだけ使うものであり、単に円形に並べるだけの円順列とは条件が違うことに注意してください。
例題
例題1(基本)
問題
異なる5人を、円形のテーブルのまわりに並べて座らせます。座り方は何通りありますか。
解答・解説を見る
この問題は、5人を円形に並べる場合の数を求める問題なので、円順列の公式を使います。
まず、円順列の公式を確認します。
$ 円順列の総数 = (n-1)! $
この問題では人数は5人なので、$n = 5$ を代入します。
$ (5-1)! = 4! $
次に、$4!$ の値を実際に計算します。$4!$ とは、4から1までの整数をすべて掛け合わせたものです。
$ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 $
これを順番に計算していきます。
$ 4 \times 3 = 12 $
$ 12 \times 2 = 24 $
$ 24 \times 1 = 24 $
したがって、$4! = 24$ です。
別の考え方でも確認しておきましょう。円順列では回転させても同じ配置になるため、5人のうち1人(例えばAさん)の座る位置を固定してよいのでした。Aさんの位置を固定すると、残り4人を残り4つの席に1列に並べる並べ方の数を考えればよく、これは $4! = 24$ 通りです。2つの考え方で同じ答えになることが確認できました。
答え:24通り
例題2(標準)
問題
赤・白・青の3色の旗があります。この旗を使って、5本のポールにそれぞれ1本ずつ旗を立てて信号を作ります。同じ色の旗を何回使ってもよいとき、何通りの信号ができますか。
解答・解説を見る
この問題では、「3種類の色から、同じ色を何度使ってもよい条件で、5本のポールに順番をつけて並べる」ので、重複順列の考え方を使います。
まず、重複順列の公式を確認します。
$ 重複順列の総数 = n^r $
ここで、$n$ は選べるものの種類の数、$r$ は並べる場所(位置)の数を表します。この問題では、色の種類は赤・白・青の3種類なので $n = 3$、ポールの本数は5本なので $r = 5$ です。これを公式に代入します。
$ n^r = 3^5 $
次に、$3^5$ の値を実際に計算します。$3^5$ とは、3を5回掛け合わせたものです。
$ 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 $
これを順番に計算していきます。
$ 3 \times 3 = 9 $
$ 9 \times 3 = 27 $
$ 27 \times 3 = 81 $
$ 81 \times 3 = 243 $
したがって、$3^5 = 243$ です。
この計算がなぜ正しいのかを、積の法則の視点からもう一度確認しておきましょう。1本目のポールの色の決め方は3通りです。2本目のポールも、1本目で使った色をもう一度使ってよいので、やはり3通りです。3本目、4本目、5本目もすべて同じく3通りずつです。5本のポールそれぞれの決め方が独立に3通りずつあるので、積の法則によりすべてを掛け合わせて $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$ となります。
答え:243通り
例題3(応用)
問題
男子3人、女子3人の合計6人が、円形のテーブルのまわりに座ります。女子3人が続けて(隣り合って)座るとき、座り方は何通りありますか。
解答・解説を見る
この問題は、円順列の考え方に加えて、「特定のものどうしを隣り合わせる」という条件がついた、一歩進んだ問題です。このような条件がついているときは、隣り合わせたいもの(ここでは女子3人)をひとまとめにして、1つの大きな「かたまり(グループ)」として扱う、という工夫を使います。
ステップ1:女子3人を1つのかたまりとみなす
女子3人を1つのかたまりとして扱うと、円形のテーブルに座るのは、次の4つの「もの」だと考えることができます。
- 男子A、男子B、男子Cの3人(それぞれ別々の1人)
- 女子3人をまとめた1つのかたまり
合計で $3 + 1 = 4$ 個の「もの」を円形に並べることになります。
ステップ2:4個のものを円順列で並べる
円順列の公式を使って、この4個のものを円形に並べる並べ方の数を求めます。
$ (n-1)! = (4-1)! = 3! $
$3!$ を計算します。
$ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $
したがって、4個のものを円形に並べる並べ方は6通りです。
ステップ3:かたまりの中の女子3人の並び方を考える
ステップ2では、女子3人を「1つのかたまり」として1通りに数えてしまっているので、かたまりの中で女子3人がどんな順番で並んでいるかは、まだ考慮できていません。かたまりの中は、円形ではなく1列に並んでいる状態(誰が左端で誰が右端か区別がある状態)なので、これは普通の順列で数えます。
女子3人を1列に並べる並べ方は次の通りです。
$ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $
ステップ4:積の法則で掛け合わせる
「4個のものの円順列の並べ方」と「かたまりの中の女子3人の並べ方」は、それぞれ独立に決めることができるので、積の法則によりこの2つを掛け合わせます。
$ 6 \times 6 = 36 $
答え:36通り
練習問題
問題
異なる5個の玉をひもに通して、輪の形の首飾りを作ります。回転させても、裏返しても同じ模様になるものは同じ1つの首飾りとみなすとき、何通りの首飾りができますか。
答え
この問題は、回転だけでなく裏返しも同じとみなす条件がついているので、じゅず順列(数珠順列)の公式を使います。
$ \frac{(n-1)!}{2} = \frac{(5-1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12 $
答え:12通り