期待値

ステップ1:確率変数 $X$ がとりうる値を確認する

硬貨を2回投げたときの表が出る回数 $X$ は、$0$ 回、$1$ 回、$2$ 回のいずれかです。

ステップ2:それぞれの値になる確率を求める

硬貨を2回投げたときの結果は、(1回目, 2回目)の組み合わせで考えると、(表,表)、(表,裏)、(裏,表)、(裏,裏)の $4$ 通りがあり、これらは同様に確からしいです。

• $X=0$(2回とも裏)になるのは(裏,裏)の1通りなので、$P(X=0) = \dfrac{1}{4}$
• $X=1$(どちらか1回だけ表)になるのは(表,裏)、(裏,表)の2通りなので、$P(X=1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
• $X=2$(2回とも表)になるのは(表,表)の1通りなので、$P(X=2) = \dfrac{1}{4}$

確率分布を表にまとめると、次のようになります。

確率の合計が $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$ になっていることが確認できるので、この確率分布は正しく作れています。

ステップ3:期待値の公式に当てはめる

期待値の定義式 $E(X) = \sum x_k p_k$ に、それぞれの値と確率を代入します。

$E(X) = 0\times\frac{1}{4} + 1\times\frac{1}{2} + 2\times\frac{1}{4}$

右辺を計算します。

$E(X) = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

したがって、答えは $E(X) = \textbf{1(回)}$ です。

硬貨を2回投げれば表は平均して1回出る、というのは直感にも合う自然な結果ですね。

ステップ1:確率変数を決める

「もらえる賞金」を確率変数 $X$ とします。$X$ がとりうる値は、$3000$ 円、$1000$ 円、$0$ 円の3種類です。

ステップ2:それぞれの値になる確率を求める

くじは全部で10本あり、そこから1本を引くので、どのくじが当たるかは同様に確からしいと考えられます。

• $X=3000$(1等が当たる)確率:1等は1本なので、$P(X=3000) = \dfrac{1}{10}$
• $X=1000$(2等が当たる)確率:2等は2本なので、$P(X=1000) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$
• $X=0$(はずれ)確率:はずれは7本なので、$P(X=0) = \dfrac{7}{10}$

確率分布の表は次のようになります。

確率の合計は $\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{7}{10} = \dfrac{10}{10} = 1$ となっており、正しく作れていることが確認できます。

ステップ3:期待値を計算する

$E(X) = 3000\times\frac{1}{10} + 1000\times\frac{2}{10} + 0\times\frac{7}{10}$

それぞれの項を計算します。$3000\times\dfrac{1}{10} = 300$、$1000\times\dfrac{2}{10} = 1000\times\dfrac{1}{5} = 200$、$0\times\dfrac{7}{10} = 0$ なので、

$E(X) = 300 + 200 + 0 = 500$

したがって、答えは500円です。

つまり、このくじを何度も引くことができるとしたら、1回あたり平均500円もらえる、というのが期待値の意味です(実際に3000円や1000円がもらえるわけではなく、あくまで「平均するとこの値になる」という意味であることに注意しましょう)。

この問題は、期待値の考え方と、以前に学んだ組合せ(順序を考えずに選ぶ場合の数の数え方)を組み合わせて解く問題です。

ステップ1:確率変数を決める

取り出した2個のうち赤玉が何個含まれているかを確率変数 $X$ とします。赤玉は3個、白玉は2個なので、同時に2個取り出したときに含まれる赤玉の個数 $X$ は、$0$、$1$、$2$ のいずれかです。

ステップ2:全体の取り出し方の総数を求める

5個の玉から2個を同時に取り出す(順序を区別しない)取り出し方の総数は、組合せの記号を使うと、

${}_{5}\mathrm{C}_{2} = \frac{5\times4}{2\times1} = 10\text{(通り)}$

です。以下では、この10通りを分母として、それぞれの場合の確率を求めていきます。

ステップ3:$X=0, 1, 2$ それぞれの確率を求める

• $X=0$(赤玉0個、つまり2個とも白玉)になる場合の数:赤玉3個から0個、白玉2個から2個を選ぶので、${}_{3}\mathrm{C}_{0}\times{}_{2}\mathrm{C}_{2} = 1\times1 = 1$(通り)。よって $P(X=0) = \dfrac{1}{10}$
• $X=1$(赤玉1個、白玉1個)になる場合の数:赤玉3個から1個、白玉2個から1個を選ぶので、${}_{3}\mathrm{C}_{1}\times{}_{2}\mathrm{C}_{1} = 3\times2 = 6$(通り)。よって $P(X=1) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$
• $X=2$(赤玉2個、つまり2個とも赤玉)になる場合の数:赤玉3個から2個、白玉2個から0個を選ぶので、${}_{3}\mathrm{C}_{2}\times{}_{2}\mathrm{C}_{0} = 3\times1 = 3$(通り)。よって $P(X=2) = \dfrac{3}{10}$

確率分布の表は次のようになります。

確率の合計は $\dfrac{1}{10}+\dfrac{6}{10}+\dfrac{3}{10} = \dfrac{10}{10} = 1$ となり、正しく計算できていることが確認できます。

ステップ4:赤玉の個数 $X$ の期待値を求める

$E(X) = 0\times\frac{1}{10} + 1\times\frac{6}{10} + 2\times\frac{3}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

ステップ5:もらえる金額の期待値を求める

赤玉1個につき100円もらえるので、もらえる金額は $100X$ 円と表せます。期待値には「確率変数を定数倍すると、期待値もその定数倍になる」という性質があるので、もらえる金額の期待値は、

$100\times E(X) = 100\times\frac{6}{5} = 120$

より、120円です。

念のため、もらえる金額そのものを確率変数として直接確認してみましょう。もらえる金額を $Y=100X$ とすると、$Y$ は $0$ 円、$100$ 円、$200$ 円のいずれかの値を、それぞれ $X=0,1,2$ のときと同じ確率 $\dfrac{1}{10}, \dfrac{6}{10}, \dfrac{3}{10}$ でとります。よって、

$E(Y) = 0\times\frac{1}{10} + 100\times\frac{6}{10} + 200\times\frac{3}{10} = 0 + 60 + 60 = 120$

となり、先ほどと同じ120円という答えが得られます。このように2通りの方法で確認できると、計算ミスの発見にも役立ちます。

出た目が $1,2,3,4,5,6$ のときの点数 $X$ は、それぞれ $-1, 4, -3, 8, -5, 12$ となり、それぞれの確率は $\dfrac{1}{6}$ ずつです。

$E(X) = (-1+4-3+8-5+12)\times\frac{1}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

答え:$E(X) = \dfrac{5}{2}$(点)