因数分解の基本公式

ステップ1:公式の形に合うか確認する

この式は「$x^2$」+「まん中の項」+「定数項」という形をしています。まず、定数項の $25$ がある数の2乗になっていないかを調べます。

$25=5^2$

なので、$b=5$ ではないかと予想します。

ステップ2:まん中の項を確認する

和の平方の公式 $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ において、$a=x,\ b=5$ だとすると、まん中の項は

$2ab=2\times x\times 5=10x$

になるはずです。実際に問題の式のまん中の項も $10x$ なので、一致しています。

ステップ3:公式を当てはめる

したがって、この式は和の平方の公式にぴったり当てはまることが分かったので、

$x^2+10x+25=(x+5)^2$

と因数分解できます。

ステップ4:検算する

答えが正しいか、右辺 $(x+5)^2$ を展開して確かめてみましょう。

$(x+5)^2=x^2+2\times x\times 5+5^2=x^2+10x+25$

元の式と一致したので、答えは正しいと確認できました。

$\therefore\ x^2+10x+25=(x+5)^2$

ステップ1:まず共通因数がないか確認する

因数分解をするときは、いきなり公式を当てはめようとするのではなく、まず「共通因数でくくれないか」を最初に確認する習慣をつけましょう。この式の各項を見ると、

$3x^2=3\times x^2,\qquad 12=3\times 4$

のように、どちらの項にも $3$ という共通因数が含まれています。そこで $3$ をくくり出します。

$3x^2-12=3(x^2-4)$

ステップ2:カッコの中をさらに因数分解できないか確認する

カッコの中の $x^2-4$ に注目します。この式は「$x^2$」ひく「定数」という、まん中の項が無い形をしています。$4=2^2$ なので、平方の差の公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ が使えないか考えます。$a=x,\ b=2$ とすると、

$x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2)$

と因数分解できます。

ステップ3:全体をまとめる

ステップ1でくくり出した $3$ と、ステップ2で因数分解した $(x+2)(x-2)$ を合わせると、

$3x^2-12=3(x+2)(x-2)$

となります。

ステップ4:検算する

右辺を展開して確かめます。まず $(x+2)(x-2)=x^2-4$ です。これに $3$ を掛けると、

$3(x^2-4)=3x^2-12$

元の式と一致しました。

$\therefore\ 3x^2-12=3(x+2)(x-2)$

このように、「共通因数をくくり出す→残った部分をさらに公式で因数分解する」という2段階の流れは、これからとてもよく使うので覚えておきましょう。

ステップ1:式の形を観察する

この式には $x$ と $y$ の2種類の文字と、定数項 $-9$ が含まれていて、一見すると公式がそのまま当てはまる形には見えません。こういうときは、式の一部分だけをカッコでくくって、まとまりを作れないか考えます。ここでは、最初の3つの項 $x^2-2xy+y^2$ に注目してみます。

$x^2-2xy+y^2-9=(x^2-2xy+y^2)-9$

ステップ2:カッコの中を因数分解する

$(x^2-2xy+y^2)$ の部分をよく見ると、差の平方の公式 $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ の形になっています。ここで $a=x,\ b=y$ とみなすと、まん中の項は $2ab=2xy$ となり、問題の式のまん中の項 $-2xy$ と(符号もふくめて)一致します。したがって、

$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$

と因数分解できます。これを使って、式全体を書き直すと、

$x^2-2xy+y^2-9=(x-y)^2-9$

となります。

ステップ3:さらに平方の差の公式を使う

$(x-y)^2-9$ という式に注目します。$9=3^2$ なので、これは「(何か)の2乗」ひく「$3$ の2乗」という形になっています。ここで、平方の差の公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ において、

$a=(x-y),\qquad b=3$

とみなすことができます。この $a,b$ を公式に当てはめると、

$(x-y)^2-3^2=\{(x-y)+3\}\{(x-y)-3\}$

ステップ4:カッコを整理する

最後に、$\{(x-y)+3\}$ と $\{(x-y)-3\}$ の中のカッコを外して、式を見やすい形に整理します。

$\{(x-y)+3\}=x-y+3,\qquad \{(x-y)-3\}=x-y-3$

したがって、

$x^2-2xy+y^2-9=(x-y+3)(x-y-3)$

ステップ5:検算する

右辺を展開して、元の式に戻るか確認します。$A=x-y$ とおくと、右辺は $(A+3)(A-3)=A^2-9$ と計算できます。ここで $A^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ なので、

$A^2-9=x^2-2xy+y^2-9$

元の式と一致しました。

$\therefore\ x^2-2xy+y^2-9=(x-y+3)(x-y-3)$

このように、文字が2種類あって公式がそのままでは使えなさそうな式でも、「一部分をカッコでくくって、1つのまとまりとして見る」という工夫をすると、これまでの公式が使える形に持ち込めることがあります。この考え方は、これから先の単元でもよく使う大切な技術です。

掛けて $-12$、たして $-1$ になる2つの数を探すと、$-4$ と $3$ の組み合わせが見つかります($-4\times 3=-12$、$-4+3=-1$)。したがって、

$x^2-x-12=(x-4)(x+3)$