数学A / 図形の性質
三角形の重心・内心・外心
要点整理
前の単元「三角形の辺と角の関係」では、1つの三角形の中で辺の長さと角の大きさがどう関係しているかを学びました。この単元では視点を変えて、三角形の中に引ける特別な3本の線(中線・垂直二等分線・角の二等分線)が、実はそれぞれ1点で交わることを学びます。その交点にあたる重心・外心・内心という3つの特別な点を、順番に見ていきましょう。
1. 重心
まず、三角形ABCの頂点Aと、その向かい側の辺BCの中点Mを結んだ線分AMのことを、中線といいます。三角形には頂点が3つあるので、中線も3本(頂点Aからのもの、頂点Bからのもの、頂点Cからのもの)引くことができます。
このとき、次の定理が成り立ちます。
定理(重心): 三角形の3本の中線は1点で交わる。この点を重心という。さらに、重心は各中線を頂点側から2:1に内分する。
「1点で交わる」ことと「2:1に内分する」ことの両方を、実際に確認してみましょう。
証明
三角形ABCで、辺BCの中点をM、辺CAの中点をNとし、中線AMと中線BNの交点をGとします。
ここで、辺AGの中点をP、辺BGの中点をQとします。すると、三角形ABGにおいて、PとQはそれぞれ辺AG、辺BGの中点なので、中点連結定理(中学校で学んだ、三角形の2辺の中点を結ぶ線分は残りの1辺に平行で長さはその半分になる、という定理)より、
$PQ \parallel AB, \quad PQ = \frac{1}{2}AB$
が成り立ちます。
一方、MとNはそれぞれ辺BC、辺CAの中点なので、三角形CABに対して中点連結定理を使うと、
$MN \parallel AB, \quad MN = \frac{1}{2}AB$
も成り立ちます。
この2つの式から、$PQ \parallel MN$ かつ $PQ = MN$ であることがわかります。1組の対辺が平行でその長さが等しい四角形は平行四辺形になるので、四角形PQMNは平行四辺形です。
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるという性質があるので、対角線PMと対角線QNの交点は、PMの中点でもありQNの中点でもあります。ところが、Pは線分AG上、Mは線分AG(を含む中線AM)の延長上にあるので、対角線PMは直線AM上にあります。同様に、対角線QNは直線BN上にあります。直線AMと直線BNの交点はGだけなので、この対角線の交点はGそのものです。
つまり、Gは線分PMの中点であり、線分QNの中点でもあるということです。
Gが線分PMの中点であることから、$PG = GM$ です。また、PはAGの中点なので $AP = PG$ です。したがって、
$AP = PG = GM$
となり、$AG = AP + PG = 2PG = 2GM$ 、すなわち
$AG : GM = 2 : 1$
が成り立ちます。同じように考えると $BG : GN = 2 : 1$ も成り立ちます。
最後に、3本目の中線(頂点Cから辺ABの中点Lへ引いた中線CL)も同じ点Gを通ることを確認します。中線AMと中線CLについて、今と全く同じ議論を行うと、その交点Gʼは $AG' : G'M = 2:1$ を満たします。ところが、線分AM上でこの比を満たす点はただ1つしかないので、$G' = G$ となり、中線CLも点Gを通ることがわかります。
以上で、3本の中線が1点Gで交わり、Gが各中線を頂点側から2:1に内分することが確認できました。
参考: 座標平面上で3頂点の座標が $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$、$C(x_3, y_3)$ とわかっている場合、重心Gの座標は次の式で求められることが知られています。
$G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
この式の意味は、「図形と方程式」で内分点の座標の公式を学ぶとよりはっきり理解できます。ここでは、こういう便利な式があるということだけ覚えておけば十分です。
2. 外心
線分の垂直二等分線とは、その線分の中点を通り、その線分に垂直な直線のことでした。垂直二等分線には、次の性質があります。
線分ABの垂直二等分線上にある点Pは、$PA = PB$ を満たす(2点A, Bから等しい距離にある)。逆に、$PA = PB$ を満たす点Pは、線分ABの垂直二等分線上にある。
この性質を使うと、次の定理が証明できます。
定理(外心): 三角形の3辺それぞれの垂直二等分線は1点で交わる。この点を外心という。
証明
三角形ABCで、辺ABの垂直二等分線と辺BCの垂直二等分線の交点をOとします。
Oは辺ABの垂直二等分線上にあるので $OA = OB$ 、Oは辺BCの垂直二等分線上にあるので $OB = OC$ が成り立ちます。この2つから、
$OA = OB = OC$
がわかります。特に $OA = OC$ なので、Oは辺CAからも等しい距離にある点、つまり辺CAの垂直二等分線上の点でもあります。したがって、3辺の垂直二等分線はすべて点Oを通り、1点で交わることが示せました。
このように、外心Oは3頂点A, B, Cから等しい距離にあります。この距離を半径とし、Oを中心として3頂点をすべて通る円を、その三角形の外接円といいます。
外心の位置は、三角形の形によって変わります。
- 鋭角三角形のとき: 外心は三角形の内部にある
- 直角三角形のとき: 外心は斜辺の中点にある
- 鈍角三角形のとき: 外心は三角形の外部にある
直角三角形の場合について、なぜ外心が斜辺の中点になるのかは、例題2で実際に確認します。
3. 内心
角の二等分線には、次の性質があります。
角XOYの二等分線上にある点Pから、2つの半直線OX, OYまでの距離(垂線の長さ)は等しい。逆に、半直線OX, OYまでの距離が等しい点Pは、角XOYの二等分線上にある。
(これは、直角三角形の合同条件を使うことで確認できる、中学校で学んだ性質です。)
この性質を使うと、重心・外心と同じような形で、次の定理が証明できます。
定理(内心): 三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。この点を内心という。
証明
三角形ABCで、角Bの二等分線と角Cの二等分線の交点をIとします。Iから辺AB、辺BC、辺CAまでの距離をそれぞれ $d_{AB}$、$d_{BC}$、$d_{CA}$ とします。
Iは角Bの二等分線上にあるので $d_{AB} = d_{BC}$ 、Iは角Cの二等分線上にあるので $d_{BC} = d_{CA}$ が成り立ちます。この2つから、
$d_{AB} = d_{BC} = d_{CA}$
がわかります。特に $d_{AB} = d_{CA}$ なので、Iは辺AB, CAまでの距離が等しい点、つまり角Aの二等分線上の点でもあります。したがって、3つの内角の二等分線はすべて点Iを通り、1点で交わることが示せました。
内心Iは3辺すべてから等しい距離にあり、この距離を半径として3辺に接する円を、その三角形の内接円といいます。角の二等分線は必ず三角形の内部を通るので、内心は三角形の形にかかわらず、必ず三角形の内部にあります。この点が外心と大きく異なるところです。
内心と角の関係
内心Iについて、角B, Cの二等分線から作られる角 $\angle BIC$ の大きさを、角Aの大きさで表してみましょう。
角Bの二等分線上にIがあるので、$\angle IBC = \dfrac{B}{2}$ と書けます(ここでBは角Bの大きさを表します)。同じように、$\angle ICB = \dfrac{C}{2}$ です。
三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、三角形IBCについて、
$\angle BIC = 180^\circ - \angle IBC - \angle ICB = 180^\circ - \frac{B}{2} - \frac{C}{2} = 180^\circ - \frac{B+C}{2}$
ここで、三角形ABCの内角の和が $180^\circ$ であることから $A + B + C = 180^\circ$ 、つまり $B + C = 180^\circ - A$ です。これを代入すると、
$\angle BIC = 180^\circ - \frac{180^\circ - A}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{A}{2} = 90^\circ + \frac{A}{2}$
よって、次の式が成り立ちます。
$\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$
内接円の半径と面積の関係
三角形ABCの辺の長さを、辺BC $= a$、辺CA $= b$、辺AB $= c$ とし、内接円の半径を $r$ とします。内心Iと3頂点を結ぶ線分AI, BI, CIによって、三角形ABCは3つの小さな三角形IBC, ICA, IABに分けられます。それぞれの三角形は、底辺が三角形ABCの1辺、高さがIからその辺までの距離、つまり内接円の半径 $r$ になっています。
したがって、三角形ABCの面積 $S$ は、この3つの三角形の面積の和として、
$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \times \frac{a+b+c}{2}$
と表せます。$\dfrac{a+b+c}{2}$ は三角形の周の長さの半分で、半周長と呼ばれる量です。この関係式は、辺の長さから面積がわかっているときに、内接円の半径 $r$ を求めるのにとても便利です。
例題
例題1(基本)
問題
三角形ABCにおいて、辺BCの中点をM、重心をGとする。中線AMの長さが $9\ \text{cm}$ であるとき、線分AGと線分GMの長さをそれぞれ求めよ。
解答・解説を見る
重心は各中線を頂点側から $2:1$ に内分するので、
$AG : GM = 2 : 1$
が成り立ちます。$GM = x\ (\text{cm})$ とおくと、$AG = 2x\ (\text{cm})$ と表せます。
線分AMは線分AGと線分GMをあわせたものなので、
$AG + GM = AM$
に代入すると、
$2x + x = 9$
$3x = 9$
$x = 3$
したがって、
$GM = 3\ \text{cm}, \quad AG = 2x = 6\ \text{cm}$
答え: $AG = 6\ \text{cm}$、$GM = 3\ \text{cm}$
例題2(標準)
問題
$\angle C = 90^\circ$ の直角三角形ABCがあり、$CA = 6$、$CB = 8$ である。この三角形の外心の位置を説明し、外接円の半径 $R$ を求めよ。
解答・解説を見る
まず、辺ABの長さを求めます。
三角形ABCは $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形なので、三平方の定理より、
$AB^2 = CA^2 + CB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$AB > 0$ なので、
$AB = \sqrt{100} = 10$
次に、外心が辺ABの中点になることを確認します。
辺ABの中点をMとします。点Cを、点Mについて点対称に移動した点をDとします。つまり、Mは線分CDの中点でもあります。
四角形ACBDは、対角線AB, CDがどちらも点Mで交わり、しかもMがそれぞれの対角線の中点になっています。対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は平行四辺形になる(中学校で学んだ性質)ので、四角形ACBDは平行四辺形です。
平行四辺形の向かい合う角は等しいので、
$\angle ADB = \angle ACB = 90^\circ$
1つの角が $90^\circ$ である平行四辺形は、すべての角が $90^\circ$ になるので、長方形です。したがって、四角形ACBDは長方形です。
長方形の2本の対角線の長さは等しいので、
$AB = CD$
Mは線分ABの中点でもあり、線分CDの中点でもあるので、
$MA = MB = \frac{AB}{2}, \qquad MC = MD = \frac{CD}{2} = \frac{AB}{2}$
よって、
$MA = MB = MC$
が成り立ちます。つまり、辺ABの中点Mは3頂点A, B, Cから等しい距離にあるので、Mがこの三角形の外心です。
最後に、外接円の半径を求めます。
外接円の半径は、外心から頂点までの距離なので、
$R = MA = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$
答え: 外心は辺ABの中点であり、外接円の半径は $R = 5$
例題3(応用)
問題
$AB = 13$、$BC = 14$、$CA = 15$ である三角形ABCの内心をIとし、内接円の半径を $r$ とする。三角形ABCの面積 $S$ を求め、続けて $r$ の値を求めよ。
解答・解説を見る
まず、三角形ABCの面積 $S$ を求めます。
頂点Aから辺BCに垂線をおろし、その足をHとします。$BH = x$ とおくと、$HC = BC - BH = 14 - x$ と表せます。
三角形ABHは $\angle AHB = 90^\circ$ の直角三角形なので、三平方の定理より、
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2 \quad \cdots ①$
三角形AHCも $\angle AHC = 90^\circ$ の直角三角形なので、三平方の定理より、
$AH^2 = AC^2 - HC^2 = 15^2 - (14-x)^2 = 225 - (14-x)^2 \quad \cdots ②$
①と②は同じ $AH^2$ を表しているので、
$169 - x^2 = 225 - (14-x)^2$
右辺の $(14-x)^2$ を展開すると、
$(14-x)^2 = 196 - 28x + x^2$
なので、
$169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2) = 225 - 196 + 28x - x^2 = 29 + 28x - x^2$
両辺に $x^2$ を足すと、
$169 = 29 + 28x$
$140 = 28x$
$x = 5$
これを①に代入すると、
$AH^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$AH > 0$ なので、
$AH = \sqrt{144} = 12$
したがって、三角形ABCの面積は、底辺BC、高さAHとして、
$S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 14 \times 12 = 84$
次に、内接円の半径 $r$ を求めます。
要点整理で確認したように、三角形の面積 $S$ と内接円の半径 $r$ の間には、
$S = r \times \frac{a+b+c}{2}$
という関係があります。ここで $a = BC = 14$、$b = CA = 15$、$c = AB = 13$ なので、半周長は、
$\frac{a+b+c}{2} = \frac{14+15+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$
先ほど求めた $S = 84$ とあわせて、
$84 = r \times 21$
両辺を21で割ると、
$r = \frac{84}{21} = 4$
答え: $S = 84$、$r = 4$
練習問題
問題
三角形ABCにおいて、辺ABの中点をL、辺BCの中点をM、辺CAの中点をNとする。3本の中線AM, BN, CLの交点を重心Gとする。$BG = 10$ のとき、線分GNの長さを求めよ。
答え
重心は中線を頂点側から $2:1$ に内分するので、頂点Bから引いた中線BNについても $BG:GN = 2:1$ が成り立ちます。
$GN = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2} \times 10 = 5$
答え: $GN = 5$