章末問題

ステップ1:中点 $\mathrm{M}$ の座標を求める

中点の座標の公式 $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ に、$\mathrm{B}(5,3)$、$\mathrm{C}(3,7)$ を代入します。

$x$ 座標は、

$\frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y$ 座標は、

$\frac{3+7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

したがって、$\mathrm{M}(4,5)$ です。

ステップ2:線分 $\mathrm{AM}$ の長さを求める

2点間の距離の公式に、$\mathrm{A}(1,1)$、$\mathrm{M}(4,5)$ を代入します。

$\mathrm{AM} = \sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}$

かっこの中を計算します。

$= \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

したがって、$\mathrm{AM}=5$ です。

まず、直線 $3x-y+4=0$ の傾きを求めます。$y$ について解くと、

$y = 3x+4$

なので、傾きは $3$ です。

求める直線は、この直線に垂直なので、垂直条件 $m_1m_2=-1$ より、求める直線の傾きを $m$ とすると、

$3\times m = -1$

両辺を $3$ でわります。

$m = -\frac13$

点 $(2,-1)$ を通り、傾き $-\dfrac13$ の直線の方程式は、

$y-(-1) = -\frac13(x-2)$

左辺を整理します。

$y+1 = -\frac13(x-2)$

両辺に $3$ をかけて、分数をなくします。

$3(y+1) = -(x-2)$

左辺・右辺をそれぞれ展開します。

$3y+3 = -x+2$

すべての項を左辺に移項します。

$x+3y+3-2=0$

$x+3y+1=0$

したがって、求める直線の方程式は $x+3y+1=0$ です。

検算:点 $(2,-1)$ を代入すると $2+3\times(-1)+1=2-3+1=0$ となり、確かにこの直線上にあります。また、この直線の傾きは、$y$ について解くと $y=-\dfrac13x-\dfrac13$ より $-\dfrac13$ であり、もとの直線の傾き $3$ との積は $3\times\left(-\dfrac13\right)=-1$ となるので、垂直条件も満たしています。

円が直線に接するとき、円の半径は、中心から接する直線までの距離に等しくなります。まず、この距離を点と直線の距離の公式で求めます。

$d = \frac{|3\times2+4\times3-3|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

分子の絶対値の中身を計算します。$3\times2=6$、$4\times3=12$ なので、

$= 6+12-3 = 15$

絶対値をとって $|15|=15$ です。分母を計算すると、

$\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

したがって、

$d = \frac{15}{5} = 3$

半径は $r=3$ です。中心 $(2,3)$、半径 $3$ を円の標準形 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ に代入すると、

$(x-2)^2+(y-3)^2 = 3^2$

$(x-2)^2+(y-3)^2 = 9$

したがって、求める円の方程式は $(x-2)^2+(y-3)^2=9$ です。

直線の式を $x$ について解くと、

$x = 10-3y$

これを円の式 $x^2+y^2=10$ に代入します。

$(10-3y)^2+y^2=10$

$(10-3y)^2$ を展開します。

$100-60y+9y^2+y^2=10$

同類項をまとめます。

$10y^2-60y+100=10$

両辺から $10$ を引きます。

$10y^2-60y+90=0$

両辺を $10$ でわって式を簡単にします。

$y^2-6y+9=0$

この2次方程式の判別式 $D=b^2-4ac$ を計算します。$a=1$, $b=-6$, $c=9$ なので、

$D = (-6)^2-4\times1\times9 = 36-36=0$

$D=0$ なので、この2次方程式は重解を持ちます。つまり、円と直線は接している(共有点は1個)ことが分かります。

実際に方程式 $y^2-6y+9=0$ を解きます。左辺は $(y-3)^2$ の形に因数分解できます($(y-3)^2=y^2-6y+9$ で確認できます)。

$(y-3)^2=0$

よって $y=3$(重解)です。$x=10-3y$ に代入すると、

$x = 10-3\times3 = 10-9=1$

したがって、共有点(接点)は $(1,3)$ です。

検算:$(1,3)$ が円 $x^2+y^2=10$ 上にあるか確認すると、$1^2+3^2=1+9=10$ となり成り立ちます。

求める点を $\mathrm{P}(x,y)$ とおきます。条件は $\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$ です。

比の性質(内項の積と外項の積が等しい)を使うと、

$1\times\mathrm{PA} = 2\times\mathrm{PB}$

つまり $\mathrm{PA}=2\,\mathrm{PB}$ です。両辺とも $0$ 以上なので、両辺を2乗しても同値な式になります。

$\mathrm{PA}^2 = 4\,\mathrm{PB}^2$

2点間の距離の公式(2乗した形)を使うと、

$\mathrm{PA}^2 = (x-0)^2+(y-0)^2 = x^2+y^2$

$\mathrm{PB}^2 = (x-3)^2+(y-0)^2 = (x-3)^2+y^2$

これらを $\mathrm{PA}^2=4\,\mathrm{PB}^2$ に代入します。

$x^2+y^2 = 4\left[(x-3)^2+y^2\right]$

右辺の $(x-3)^2$ を展開します。$(x-3)^2=x^2-6x+9$ なので、

$x^2+y^2 = 4(x^2-6x+9+y^2)$

右辺を展開します。

$x^2+y^2 = 4x^2-24x+36+4y^2$

右辺の項をすべて、符号を変えて左辺に移項します。

$x^2+y^2-4x^2+24x-36-4y^2=0$

同じ文字の項どうしをまとめます。

$-3x^2-3y^2+24x-36=0$

両辺を $-3$ でわります。

$x^2+y^2-8x+12=0$

$x$ の項を平方完成します。

$x^2-8x = (x-4)^2-16$

元の式に代入します。

$(x-4)^2-16+y^2+12=0$

定数をまとめて右辺に移項します。

$(x-4)^2+y^2=4$

これが求める軌跡の方程式です。中心 $(4,0)$、半径 $2$ の円を表しています。この計算はすべて同値変形(2乗の部分も両辺が0以上どうしの変形)なので、除外すべき点はありません。

したがって、点 $\mathrm{P}$ の軌跡は、中心 $(4,0)$、半径 $2$ の円です。

$x$ の項を平方完成します。

$x^2-6x = (x-3)^2-9$

元の式に代入します。

$(x-3)^2-9+y^2+8\leqq0$

定数の部分($-9+8=-1$)をまとめて右辺に移項します。

$(x-3)^2+y^2\leqq1$

これは、中心 $(3,0)$、半径 $1$($1=1^2$)の円の内部(境界を含む)を表しています。

したがって、求める領域は、中心 $(3,0)$、半径 $1$ の円の内部(境界を含む)です。

ステップ1:領域 $D$ の頂点を求める

境界線どうしの交点を調べ、すべての不等式を満たす点だけを頂点として残します。

• $x=0$ と $y=0$ の交点:$(0,0)$。$2x+y=0\leqq8$、$x+2y=0\leqq10$ を満たすので、頂点です。
• $x=0$ と $2x+y=8$ の交点:$x=0$ を代入して $y=8$、つまり $(0,8)$。しかし $x+2y=0+16=16\leqq10$ を確認すると成り立たないので、この点は頂点ではありません。
• $x=0$ と $x+2y=10$ の交点:$x=0$ を代入して $y=5$、つまり $(0,5)$。$2x+y=0+5=5\leqq8$ を満たすので、頂点です。
• $y=0$ と $2x+y=8$ の交点:$y=0$ を代入して $x=4$、つまり $(4,0)$。$x+2y=4\leqq10$ を満たすので、頂点です。
• $y=0$ と $x+2y=10$ の交点:$y=0$ を代入して $x=10$、つまり $(10,0)$。しかし $2x+y=20\leqq8$ は成り立たないので、頂点ではありません。
• $2x+y=8$ と $x+2y=10$ の交点:$2x+y=8$ より $y=8-2x$。これを $x+2y=10$ に代入すると、

$x+2(8-2x)=10$

$x+16-4x=10$

$-3x=-6$

$x=2$

$y=8-2\times2=4$ なので、交点は $(2,4)$ です。$x\geqq0$, $y\geqq0$ を満たすので、頂点です。

以上より、領域 $D$ の頂点は $(0,0)$、$(4,0)$、$(2,4)$、$(0,5)$ の4つです。

ステップ2:各頂点で $x+y$ の値を計算する

$(0,0):\quad 0+0=0$

$(4,0):\quad 4+0=4$

$(2,4):\quad 2+4=6$

$(0,5):\quad 0+5=5$

ステップ3:最大値・最小値をまとめる

$1$次式 $x+y$ の最大値・最小値は、領域 $D$ の頂点のどれかで達成されます。計算した4つの値 $0,\ 4,\ 6,\ 5$ を比べると、最大は $6$(頂点 $(2,4)$)、最小は $0$(頂点 $(0,0)$)です。

したがって、$x+y$ の最大値は $6$、最小値は $0$ です。

動く点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(s,t)$ とおきます。$\mathrm{Q}$ は円 $x^2+y^2=4$ 上の点なので、

$s^2+t^2=4 \quad\cdots①$

が成り立ちます。

一方、点 $\mathrm{P}(x,y)$ は、線分 $\mathrm{AQ}$ を $\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}=1:2$ に内分する点です。内分点の座標の公式 $\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$(ここで $m:n=\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}=1:2$、1つ目の点を $\mathrm{A}(6,0)$、2つ目の点を $\mathrm{Q}(s,t)$ とします)に当てはめると、

$x = \frac{2\times6+1\times s}{1+2}, \qquad y = \frac{2\times0+1\times t}{1+2}$

分母をそれぞれ計算すると、

$x = \frac{12+s}{3}, \qquad y = \frac{t}{3}$

この2つの式を、$s,t$ について解きます。$x=\dfrac{12+s}{3}$ の両辺を3倍すると $3x=12+s$ となるので、

$s = 3x-12$

$y=\dfrac{t}{3}$ の両辺を3倍すると、

$t = 3y$

この $s=3x-12$, $t=3y$ を①の式 $s^2+t^2=4$ に代入します。

$(3x-12)^2+(3y)^2=4$

左辺を整理します。$(3x-12)^2 = 9(x-4)^2$(かっこの中を3でくくって2乗しています)、$(3y)^2=9y^2$ なので、

$9(x-4)^2+9y^2=4$

両辺を $9$ でわります。

$(x-4)^2+y^2=\frac49$

これが求める軌跡の方程式です。中心 $(4,0)$、半径 $\dfrac23$($\dfrac49=\left(\dfrac23\right)^2$ より)の円を表しています。

点 $\mathrm{Q}$ は円 $x^2+y^2=4$ の全体を動くので、$s,t$ に制限はなく、点 $\mathrm{P}$ の軌跡もこの円のすべての点になります。

したがって、点 $\mathrm{P}$ の軌跡は、中心 $(4,0)$、半径 $\dfrac23$ の円です。