接線の方程式

$f(x)=x^2$ とおくと、$f'(x)=2x$ です。接点の $x$ 座標は $a=1$ なので、

$f(1) = 1^2 = 1, \qquad f'(1) = 2\times1 = 2$

接線の公式 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ に代入します。

$y-1 = 2(x-1)$

右辺を展開します。

$y-1 = 2x-2$

両辺に $1$ を加えて $y=\ldots$ の形にします。

$y = 2x-2+1 = 2x-1$

答え: $y=2x-1$

$f(x)=x^3-2x$ とおくと、$f'(x)=3x^2-2$ です。

接点の座標を求める: $x=2$ を $f(x)$ に代入します。

$f(2) = 2^3-2\times2 = 8-4 = 4$

よって接点は $(2,4)$ です。

傾きを求める: $x=2$ を $f'(x)$ に代入します。

$f'(2) = 3\times2^2-2 = 3\times4-2 = 12-2 = 10$

接線の方程式を作る: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ に $a=2$、$f(2)=4$、$f'(2)=10$ を代入します。

$y-4 = 10(x-2)$

右辺を展開します。

$y-4 = 10x-20$

両辺に $4$ を加えます。

$y = 10x-20+4 = 10x-16$

答え: $y=10x-16$

まず、点 $(1,-3)$ が曲線 $y=x^2$ 上にないことを確認します。$x=1$ のとき $y=1^2=1$ であり、$-3$ とは異なるので、確かに曲線上にはありません。よって、接点の $x$ 座標を文字 $t$ とおいて考えます。

接線の式を $t$ で表す: $f(x)=x^2$、$f'(x)=2x$ より、接点 $(t, t^2)$ における接線は、

$y-t^2 = 2t(x-t)$

右辺を展開します。

$y-t^2 = 2tx-2t^2$

両辺に $t^2$ を加えて整理します。

$y = 2tx-2t^2+t^2 = 2tx-t^2$

点 $(1,-3)$ を通る条件を立てる: この直線が点 $(1,-3)$ を通るので、$x=1, y=-3$ を代入します。

$-3 = 2t\times1-t^2$

つまり、

$-3 = 2t-t^2$

$t$ についての方程式を解く: 右辺を左辺に移項して整理します。

$t^2-2t-3 = 0$

左辺を因数分解します。積が $-3$、和が $-2$ になる2数は $-3$ と $1$ なので、

$(t-3)(t+1) = 0$

よって、

$t = 3 \quad \text{または} \quad t = -1$

それぞれの接線を求める: $y=2tx-t^2$ に代入します。

$t=3$ のとき: $y=2\times3\times x-3^2=6x-9$

$t=-1$ のとき: $y=2\times(-1)\times x-(-1)^2=-2x-1$

検算: どちらの直線も $x=1$ のとき $y=-3$ になるか確認します。$6\times1-9=-3$、$-2\times1-1=-3$ となり、どちらも点 $(1,-3)$ を通ることが確かめられます。

答え: $y=6x-9$ または $y=-2x-1$

$f(x)=x^3$、$f'(x)=3x^2$ より $f'(-1)=3\times(-1)^2=3$。

$y-(-1) = 3(x-(-1)) \quad\Longrightarrow\quad y+1 = 3(x+1) \quad\Longrightarrow\quad y = 3x+3-1 = 3x+2$