極限 公式ページ

数列の極限の性質(和・差・積・商)

$$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha,\quad \lim_{n\to\infty} b_n = \beta \ \text{のとき}\quad \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\alpha+\beta,\quad \lim_{n\to\infty}(a_n b_n)=\alpha\beta$$

はさみうちの原理

$$a_n \leq c_n \leq b_n \ \text{かつ}\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \alpha \ \text{ならば}\ \lim_{n\to\infty} c_n = \alpha$$

無限等比数列の収束・発散

$$\lim_{n\to\infty} r^n = \begin{cases} \infty & (r>1) \\ 1 & (r=1) \\ 0 & (-1

無限等比級数の和

$$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}\quad (-1

極限が存在するための条件(左極限・右極限)

$$\lim_{x\to a} f(x) = \alpha \iff \lim_{x\to a-0} f(x) = \lim_{x\to a+0} f(x) = \alpha$$

三角関数の基本極限

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

ネイピア数の定義

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}$$

指数関数・対数関数の基本極限

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1$$

関数の連続の定義

$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$

中間値の定理(方程式の解の存在)

$$f(a)f(b)<0 \implies \exists\, c\in(a,b)\ \text{s.t.}\ f(c)=0$$