数学I / 二次関数
2次方程式の解と判別式
要点整理
これまでの単元では、2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフを平方完成によって頂点の形に直し、グラフの形をとらえる方法を学んできました。この単元では、その平方完成の考え方を使って、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$($a$, $b$, $c$ は定数で $a \neq 0$)を解く方法を学びます。
解の公式を導く
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ を、平方完成の手順で解いていきましょう。途中式を1つも飛ばさずに書きます。
ステップ1 両辺を $a$($a\neq 0$)で割ります。
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
ステップ2 定数項 $\dfrac{c}{a}$ を右辺に移項します。
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
ステップ3 左辺を平方完成します。$x$ の係数 $\dfrac{b}{a}$ の半分である $\dfrac{b}{2a}$ を使って、次のように変形できます。
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a}$
ステップ4 $-\dfrac{b^2}{4a^2}$ を右辺に移項します。
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$
ステップ5 右辺を、分母を $4a^2$ にそろえて1つの分数にまとめます。$\dfrac{c}{a} = \dfrac{4ac}{4a^2}$ なので、
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$
ステップ6 両辺の平方根をとります(右辺が0以上のときだけ実数の範囲で計算できます)。
$x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
ステップ7 $\dfrac{b}{2a}$ を右辺に移項してまとめると、次の解の公式が得られます。
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
この公式に $a$, $b$, $c$ の値を代入するだけで、2次方程式の解を求めることができます。
判別式で解の個数を調べる
解の公式の根号(ルート)の中身 $b^2-4ac$ の符号によって、実数解が何個あるかが決まります。この $b^2-4ac$ を判別式と呼び、$D$(discriminant の頭文字)という文字で表します。
$D = b^2-4ac$
- $D>0$ のとき、根号の中が正の数になるので、$\sqrt{D}$ は0でない実数になります。したがって解の公式の $\pm$ から異なる2つの実数解が得られます。
- $D=0$ のとき、$\sqrt{D}=0$ なので、解の公式は $x=-\dfrac{b}{2a}$ の1つだけになります。この解を重解と呼びます。
- $D<0$ のとき、根号の中が負の数になり、実数の範囲では平方根を考えることができません。したがって実数解を持ちません(0個です)。
まとめると、次のようになります。
| 判別式 $D=b^2-4ac$ | 実数解の個数 |
|---|---|
| $D>0$ | 異なる2つの実数解 |
| $D=0$ | 1つの実数解(重解) |
| $D<0$ | 実数解なし(0個) |
グラフとの関係
前の単元で学んだ通り、2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフは放物線で、頂点の $x$ 座標は $-\dfrac{b}{2a}$ でした。2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解は、このグラフが $x$ 軸と共有点を持つ $x$ の値のことなので、判別式の符号は次のようにグラフの形とも対応しています。
- $D>0$ のとき、グラフは $x$ 軸と異なる2点で交わります。
- $D=0$ のとき、グラフは $x$ 軸とちょうど1点で接します(このとき接する点はグラフの頂点です)。
- $D<0$ のとき、グラフは $x$ 軸と共有点を持ちません。
計算を楽にするコツ($b$ が偶数のとき)
$b$ が偶数のとき、$b=2b'$($b'$ は $b$ を2で割った数)とおくと、解の公式は次のように簡単になります。
$x = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2-ac}}{a}$
このとき、$\dfrac{D}{4}=b'^2-ac$ を計算すれば、$D$ を直接計算するより数が小さくなり、ミスをしにくくなります。符号の判定も $D>0$ と $\dfrac{D}{4}>0$ は同じことなので、そのまま使えます。
例題
例題1(基本)
問題
2次方程式 $2x^2+3x-2=0$ を、解の公式を使って解きなさい。
解答・解説を見る
$a=2$, $b=3$, $c=-2$ です。
まず判別式を計算します。
$D = b^2-4ac = 3^2-4\cdot2\cdot(-2) = 9+16 = 25$
$D=25>0$ なので、異なる2つの実数解を持つことが分かります。
$\sqrt{D}=\sqrt{25}=5$ なので、解の公式に代入します。
$x = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{-3\pm5}{2\cdot2} = \frac{-3\pm5}{4}$
複号(±)をそれぞれ計算します。
$x = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad x = \frac{-3-5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
よって、答えは $x=\dfrac{1}{2}, -2$ です。
例題2(標準)
問題
2次方程式 $3x^2-6x+2=0$ を解きなさい。
解答・解説を見る
$a=3$, $b=-6$, $c=2$ です。$b=-6$ は偶数なので、$b'=-3$ とおいて計算すると数が小さくなります。
まず $\dfrac{D}{4}$ にあたる $b'^2-ac$ を計算します。
$b'^2-ac = (-3)^2-3\cdot2 = 9-6 = 3$
$b'^2-ac=3>0$ なので、$D>0$ となり、異なる2つの実数解を持つことが分かります。
$b$ が偶数のときの解の公式 $x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}$ に代入します。
$x = \frac{-(-3)\pm\sqrt{3}}{3} = \frac{3\pm\sqrt{3}}{3}$
これ以上約分できないので、答えは $x=\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{3}$ です。
(通常の解の公式で計算しても、$x=\dfrac{6\pm\sqrt{12}}{6}=\dfrac{6\pm2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{3}$ となり、同じ答えが得られます。)
例題3(応用)
問題
2次方程式 $x^2-2mx+m+6=0$ が異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めなさい。
解答・解説を見る
この方程式では $a=1$, $b=-2m$, $c=m+6$ です。$b=-2m$ は偶数(2の倍数)なので、$b'=-m$ とおきます。
「異なる2つの実数解を持つ」という条件は、判別式について $D>0$、つまり $\dfrac{D}{4}>0$ が成り立つことと同じです。$\dfrac{D}{4}=b'^2-ac$ を計算します。
$b'^2-ac = (-m)^2-1\cdot(m+6) = m^2-m-6$
したがって、条件は次のようになります。
$m^2-m-6>0$
左辺を因数分解します。積が $-6$、和が $-1$ になる2つの数は $-3$ と $2$ なので、
$(m-3)(m+2)>0$
2つの数 $m-3$ と $m+2$ の積が正になるのは、両方とも正、または両方とも負のときです。
- 両方とも正のとき、$m-3>0$ かつ $m+2>0$ より $m>3$
- 両方とも負のとき、$m-3<0$ かつ $m+2<0$ より $m<-2$
よって、求める $m$ の値の範囲は次の通りです。
$m<-2 \text{ または } m>3$
練習問題
問題
2次方程式 $3x^2-x+2=0$ の実数解の個数を、判別式を用いて調べなさい。
答え
$a=3$, $b=-1$, $c=2$ より、
$D = b^2-4ac = (-1)^2-4\cdot3\cdot2 = 1-24 = -23$
$D=-23<0$ なので、実数解は0個です(実数の範囲では解を持ちません)。