数学II / 微分・積分の考え
導関数の定義と計算(多項式)
要点整理
導関数とは何か
前のページで学んだ微分係数 $f'(a)$ は、$x=a$ という1つの点での変化の激しさを表す値でした。$a$ の値を色々変えれば、それに応じて $f'(a)$ の値も変わっていきます。つまり、$a$ を変数 $x$ として自由に動かせるようにすれば、$f'(x)$ 自体を1つの関数として扱うことができます。この関数を $f(x)$ の導関数と呼び、$f(x)$ の定義式の $a$ を $x$ に書き換えるだけで、次のように定義されます。
$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$f(x)$ から $f'(x)$ を求めることを「$f(x)$ を微分する」といいます。
$x^2$ の導関数を定義から求める
$f(x)=x^2$ を例に、導関数を定義通りに求めてみましょう。
$f(x+h) = (x+h)^2 = x^2+2xh+h^2$
$f(x+h)-f(x) = (x^2+2xh+h^2)-x^2 = 2xh+h^2$
$h$ でくくると $h(2x+h)$ となるので、$h$ で割ると、
$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x+h$
$h\to0$ の極限をとると、
$f'(x) = \lim_{h\to0}(2x+h) = 2x$
よって、$(x^2)'=2x$ です。
$x^3$ の導関数を定義から求める
同じように $f(x)=x^3$ の導関数も求めてみます。$(x+h)^3$ を展開するには、$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ の公式を使います。
$f(x+h) = (x+h)^3 = x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$
$f(x+h)-f(x) = (x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3 = 3x^2h+3xh^2+h^3$
$h$ でくくると $h(3x^2+3xh+h^2)$ となるので、$h$ で割ると、
$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = 3x^2+3xh+h^2$
$h\to0$ の極限をとると、$3xh$ と $h^2$ の項は $0$ に近づくので、
$f'(x) = 3x^2$
よって、$(x^3)'=3x^2$ です。
一般のべき乗の微分公式
$(x^2)'=2x$、$(x^3)'=3x^2$ という結果を見比べると、「指数を前に係数として出し、指数を1減らす」という共通のパターンが見えてきます。実は、$n$ が正の整数のとき、一般に次の公式が成り立つことが知られています。
$(x^n)' = nx^{n-1}$
また、定数関数 $f(x)=c$($c$ は定数)は、$x$ がどう変化しても値が変わらないので、変化率は常に $0$ です。よって、
$(c)' = 0$
微分の計算法則(線形性)
多項式には $x^2$ の項や $x^3$ の項が定数倍されたり、足し引きされたりして組み合わさっています。次の2つの法則を使うと、多項式全体を項ごとに微分してから組み合わせるだけでよいことが分かります。
$\{kf(x)\}' = kf'(x) \quad (k\text{は定数})$
$\{f(x)\pm g(x)\}' = f'(x)\pm g'(x)$
これらの法則(まとめて線形性と呼ばれます)により、多項式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ を微分するときは、各項を $(x^n)'=nx^{n-1}$ の公式でそれぞれ微分し、その結果を足し合わせればよいことになります。
微分の記号について: $f'(x)$ の他に、$y=f(x)$ のとき $y'$ や $\dfrac{dy}{dx}$ という記号もよく使われます。どれも「$f(x)$ を $x$ について微分したもの」という同じ意味です。
例題
例題1(基本)
問題 $f(x)=3x^2-5x+2$ を微分しなさい。
解答・解説を見る
各項を、べき乗の微分公式 $(x^n)'=nx^{n-1}$ と線形性を使って項ごとに微分します。
$3x^2$ の微分: $(x^2)'=2x$ なので、$k=3$ を掛けて $3\times2x=6x$
$-5x$ の微分: $x=x^1$ と考えると $(x^1)'=1\times x^0=1$ なので、$-5$ を掛けて $-5\times1=-5$
$2$ の微分: 定数なので $0$
これらを足し合わせます。
$f'(x) = 6x-5+0 = 6x-5$
例題2(標準)
問題 $f(x)=2x^3-x^2+4x-7$ を微分し、$f'(-1)$ の値を求めなさい。
解答・解説を見る
$f'(x)$ を求める: 項ごとに微分します。
- $2x^3$ の微分: $(x^3)'=3x^2$ なので $2\times3x^2=6x^2$
- $-x^2$ の微分: $(x^2)'=2x$ なので $-1\times2x=-2x$
- $4x$ の微分: $(x)'=1$ なので $4\times1=4$
- $-7$ の微分: $0$
これらを足し合わせて、
$f'(x) = 6x^2-2x+4$
$f'(-1)$ を求める: $x=-1$ を代入します。
$f'(-1) = 6\times(-1)^2-2\times(-1)+4 = 6\times1+2+4 = 6+2+4 = 12$
答え: $f'(x)=6x^2-2x+4$、$f'(-1)=12$
例題3(応用)
問題 $f(x)=(x+1)(x-2)^2$ を微分しなさい。
解答・解説を見る
このままの形(かけ算の形)では公式が直接使えないので、まず展開して多項式の形に直してから微分します。
展開する: まず $(x-2)^2$ を展開します。
$(x-2)^2 = x^2-4x+4$
これに $(x+1)$ を掛けます。
$f(x) = (x+1)(x^2-4x+4)$
分配法則を使って展開します。
$= x(x^2-4x+4)+1\times(x^2-4x+4)$
$= (x^3-4x^2+4x)+(x^2-4x+4)$
同類項をまとめます。$x^2$ の項は $-4x^2+x^2=-3x^2$、$x$ の項は $4x-4x=0$ なので、
$f(x) = x^3-3x^2+4$
微分する: 項ごとに微分します。
- $x^3$ の微分: $3x^2$
- $-3x^2$ の微分: $-3\times2x=-6x$
- $4$ の微分: $0$
$f'(x) = 3x^2-6x$
練習問題
問題 $f(x)=5x^4-2x^3+x-7$ を微分し、$f'(-1)$ の値を求めなさい。
答え
$f'(x)=20x^3-6x^2+1$
$f'(-1)=20\times(-1)^3-6\times(-1)^2+1=-20-6+1=-25$