数学B / 統計的な推測
二項分布
要点整理
反復試行の確率のおさらい
確率$p$で起こる事象Aがあるとき、同じ条件の試行を独立に$n$回繰り返す中で、事象Aがちょうど$k$回起こる確率は、
$P(X=k) = {}_n C_k \, p^k (1-p)^{n-k}$
という式で計算できました（これは確率の基本性質の単元で学んだ「反復試行の確率」の公式です）。$n$回のうち、どの$k$回で事象Aが起こるかの選び方が ${}_nC_k$ 通りあり、そのそれぞれについて「A が起こる確率 $p$」を$k$回分、「A が起こらない確率 $1-p$」を残りの$(n-k)$回分かけ合わせる、という考え方でした。
二項分布とは
事象Aが起こる確率が$p$である試行を$n$回独立に繰り返すとき、事象Aが起こる回数を確率変数$X$とすると、$X$がとりうる値は $0,1,2,\ldots,n$ であり、それぞれの値をとる確率は上の式で計算できます。このような確率分布のことを二項分布と呼び、$X$が二項分布に従うことを、
$X \sim B(n,p)$
と表します。（$B$は Binomial「二項の」の頭文字です。かっこの中には、試行回数$n$と、1回あたりの確率$p$を書きます。）
二項分布の期待値と分散
$X\sim B(n,p)$ のとき、期待値と分散は次の公式で求められます。
$E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$
この公式が成り立つ理由を、直感的に確かめてみましょう。$n$回の試行それぞれについて、$i$回目の試行で事象Aが起これば $1$、起こらなければ $0$ の値をとる確率変数を $X_i$ とします（$i=1,2,\ldots,n$）。すると、$n$回のうち事象Aが起こった回数の合計は、
$X = X_1+X_2+\cdots+X_n$
と書けます。それぞれの $X_i$ は、確率$p$で$1$、確率$1-p$で$0$をとる確率変数なので、期待値は $E(X_i)=1\times p+0\times(1-p)=p$ です。
期待値には「和の期待値は、期待値の和に等しい」という性質（$E(X_1+X_2+\cdots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)$）があります。これを使うと、
$E(X) = E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n) = \underbrace{p+p+\cdots+p}_{n\text{個}} = np$
同じように、それぞれの試行が互いに独立であるときには「和の分散は、分散の和に等しい」という性質も成り立ちます。$X_i$ の分散は $V(X_i)=E(X_i^2)-\{E(X_i)\}^2 = p - p^2 = p(1-p)$（$X_i^2$も$X_i$と同じ$0$か$1$の値をとるので $E(X_i^2)=E(X_i)=p$）なので、
$V(X) = V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_n) = \underbrace{p(1-p)+\cdots+p(1-p)}_{n\text{個}} = np(1-p)$
このように、二項分布の期待値と分散は、1回あたりの試行の情報から自然に求まる形になっています。
例題
例題1（基本）
問題
さいころを5回投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求めなさい。
解答・解説を見る
1回のさいころ投げで1の目が出る確率は $p=\dfrac{1}{6}$ です。1の目が出る回数を $X$ とすると、$X$ は $n=5$、$p=\dfrac{1}{6}$ の二項分布 $B\left(5,\dfrac{1}{6}\right)$ に従います。二項分布の確率の公式に $k=2$ を代入します。
$P(X=2) = {}_5C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{3}$
まず ${}_5C_2$ を計算します。
${}_5C_2 = \frac{5\times4}{2\times1} = 10$
次に $\left(\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{1}{36}$、$\left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = \dfrac{5^3}{6^3} = \dfrac{125}{216}$ を計算します。これらをすべてかけ合わせます。
$P(X=2) = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{10\times125}{36\times216} = \frac{1250}{7776}$
分子・分母をともに $2$ で約分します。
$P(X=2) = \frac{625}{3888}$
（$625=5^4$ であり、$3888$ は $5$ を約数に持たないため、これ以上は約分できません。）
したがって、$P(X=2)=\dfrac{625}{3888}$ です。
例題2（標準）
問題
さいころを180回投げるとき、1の目が出る回数を $X$ とします。$X$ の期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma(X)$ を求めなさい。
解答・解説を見る
$X$ は $n=180$、$p=\dfrac{1}{6}$ の二項分布 $B\left(180,\dfrac{1}{6}\right)$ に従います。
期待値の公式 $E(X)=np$ に代入します。
$E(X) = 180\times\frac{1}{6} = 30$
分散の公式 $V(X)=np(1-p)$ に代入します。$1-p = 1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$ です。
$V(X) = 180\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}$
先に $180\times\dfrac{1}{6}=30$ を計算しておくと、
$V(X) = 30\times\frac{5}{6} = \frac{150}{6} = 25$
標準偏差の公式 $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ に代入します。
$\sigma(X) = \sqrt{25} = 5$
したがって、$E(X)=30$、$V(X)=25$、$\sigma(X)=5$ です。
例題3（応用）
問題
二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ について、$E(X)=6$、$V(X)=\dfrac{3}{2}$ であるとき、$n$ と $p$ の値を求めなさい。
解答・解説を見る
期待値と分散の公式から、次の2つの式が成り立ちます。
$np = 6 \quad \cdots ①$
$np(1-p) = \frac{3}{2} \quad \cdots ②$
②の左辺 $np(1-p)$ は、$np$ の部分を①によって $6$ に置き換えることができます。
$6(1-p) = \frac{3}{2}$
両辺を $6$ で割ります。
$1-p = \frac{3}{2}\div6 = \frac{3}{2}\times\frac{1}{6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
両辺を整理して $p$ について解きます。
$p = 1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$p=\dfrac{3}{4}$ を①に代入します。
$n\times\frac{3}{4} = 6$
両辺に $\dfrac{4}{3}$ をかけます。
$n = 6\times\frac{4}{3} = 8$
したがって、$n=8$、$p=\dfrac{3}{4}$ です。
（確認: $n=8$、$p=\dfrac{3}{4}$ のとき、$E(X)=8\times\dfrac{3}{4}=6$、$V(X)=8\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}$ となり、どちらも問題文の値と一致します。）
練習問題
問題1
1枚の硬貨を4回投げるとき、表がちょうど3回出る確率を求めなさい。
答え
$P(X=3) = {}_4C_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = 4\times\dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4}$
問題2
ある製品の不良品が出る確率が $0.1$ であるとき、この製品を300個検査したときの不良品の個数を $X$ とします。$E(X)$、$V(X)$、$\sigma(X)$ を求めなさい。
答え
$E(X)=300\times0.1=30$
$V(X)=300\times0.1\times0.9=27$
$\sigma(X)=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
問題3
二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ について、$E(X)=4$、$V(X)=2$ であるとき、$n$ と $p$ の値を求めなさい。
答え
$1-p = \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ より $p=\dfrac{1}{2}$。$n=\dfrac{4}{1/2}=8$。