母集団と標本・標本平均の分布

要点整理

母集団と標本

世論調査で「内閣支持率」を調べるとき、本当は日本国民全員に聞くのが理想ですが、それは現実的ではありません。そこで、国民の中から一部の人を選んで調査し、その結果から全体の傾向を推測します。このとき、調査したい対象全体（この例では日本国民全員）のことを母集団と呼び、実際に調査のために取り出した一部分のことを標本と呼びます。標本に含まれるデータの個数のことを、標本の大きさと呼びます（「標本数」ではなく「標本の大きさ」と呼ぶことに注意しましょう）。

母集団全体についての平均を母平均（記号 $m$）、母集団全体についての標準偏差を母標準偏差（記号 $\sigma$）と呼びます。通常、母集団全部を調べ尽くすことは難しいため、母平均や母標準偏差の正確な値は分からないことがほとんどです。統計的な推測とは、標本から得られる情報をもとに、この分からない母平均などの値を推測していく手法のことです。

標本平均とその分布

母集団から、大きさ $n$ の標本を取り出し、その標本に含まれるデータの平均を計算したものを標本平均と呼び、記号 $\overline{X}$（エックスバー）で表します。

ここで重要なポイントがあります。標本は母集団からランダムに選ばれるため、標本を取り直すたびに、含まれるデータも、その平均 $\overline{X}$ の値も変わってしまいます。つまり、$\overline{X}$ は1つの決まった数ではなく、それ自体が確率変数なのです。この単元では、$\overline{X}$ がどのような分布に従うかを調べます。

標本の中の$1$つ目のデータを $X_1$、$2$つ目を $X_2$、……、$n$つ目を $X_n$ とすると、これらはそれぞれ母集団の分布（母平均$m$、母標準偏差$\sigma$）に従う確率変数だと考えられ、標本平均は、

$\overline{X} = \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$

と表せます。二項分布の単元で学んだ「和の期待値は期待値の和」「独立な確率変数どうしの和の分散は分散の和」という性質と、期待値・分散の1次変換の公式を組み合わせると、$\overline{X}$ の期待値と分散を求めることができます。

まず期待値です。

$E(\overline{X}) = E\left(\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right) = \frac{1}{n}\bigl\{E(X_1)+\cdots+E(X_n)\bigr\} = \frac{1}{n}\times \underbrace{(m+m+\cdots+m)}_{n\text{個}} = \frac{nm}{n} = m$

次に分散です。$X_1,\ldots,X_n$ が互いに独立に選ばれているとすると、

$V(\overline{X}) = V\left(\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2}\bigl\{V(X_1)+\cdots+V(X_n)\bigr\} = \frac{1}{n^2}\times\underbrace{(\sigma^2+\cdots+\sigma^2)}_{n\text{個}} = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}$

したがって、次の公式が得られます。

$E(\overline{X}) = m, \qquad V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma(\overline{X}) = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

標本平均の期待値は母平均と同じ $m$ になり、標本平均の標準偏差は、標本の大きさ $n$ が大きくなるほど小さくなっていくことが分かります。これは直感的にも納得できます。標本サイズが大きいほど、標本平均は母平均に近い値になりやすく、バラつきが小さくなるということです。

中心極限定理

さらに重要な事実として、母集団の分布がどんな形（正規分布でなくても構いません）であっても、標本の大きさ $n$ が十分大きければ、標本平均 $\overline{X}$ の分布は近似的に正規分布

$N\left(m,\ \frac{\sigma^2}{n}\right)$

に従うことが知られています。これを中心極限定理と呼びます。この定理のおかげで、母集団の詳しい分布の形が分からなくても、標本平均については正規分布の知識（標準化や正規分布表）を使って確率を計算できるようになります。

例題

例題1（基本）

問題

母平均 $50$、母標準偏差 $10$ の母集団から、大きさ $25$ の標本を取り出すとき、標本平均 $\overline{X}$ の期待値と標準偏差を求めなさい。

解答・解説を見る

標本平均の期待値の公式 $E(\overline{X})=m$ に、$m=50$ を代入します。

$E(\overline{X}) = 50$

標本平均の標準偏差の公式 $\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ に、$\sigma=10$、$n=25$ を代入します。$\sqrt{25}=5$ なので、

$\sigma(\overline{X}) = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

したがって、$E(\overline{X})=50$、$\sigma(\overline{X})=2$ です。

例題2（標準）

問題

母平均 $60$、母標準偏差 $20$ の母集団から、大きさ $100$ の標本を取り出します。中心極限定理を用いて、標本平均 $\overline{X}$ が $58$ 以上 $64$ 以下となる確率を求めなさい。

解答・解説を見る

まず、標本平均 $\overline{X}$ が近似的に従う正規分布を求めます。$E(\overline{X})=m=60$ です。標準偏差は、

$\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{100}} = \frac{20}{10} = 2$

したがって、中心極限定理により $\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(60, 2^2)$ に従います。

$\overline{X}=58$、$\overline{X}=64$ をそれぞれ標準化します。標準化の式 $z=\dfrac{x-m}{\sigma}$ を使います（ここでの$\sigma$は $\overline{X}$ の標準偏差 $2$ です）。

$\overline{X}=58 \ \text{のとき}: \ z = \frac{58-60}{2} = \frac{-2}{2}=-1$

$\overline{X}=64 \ \text{のとき}: \ z = \frac{64-60}{2} = \frac{4}{2}=2$

したがって、求める確率は $P(-1\leq Z\leq2)$ です。標準正規分布の対称性を使って、

$P(-1\leq Z\leq2) = P(0\leq Z\leq1) + P(0\leq Z\leq2)$

正規分布表の値 $P(0\leq Z\leq1)=0.3413$、$P(0\leq Z\leq2)=0.4772$ を代入します。

$P(-1\leq Z\leq2) = 0.3413+0.4772 = 0.8185$

したがって、$\overline{X}$ が $58$ 以上 $64$ 以下となる確率はおよそ $0.8185$ です。

例題3（応用）

問題

母平均 $100$、母分散 $900$ の母集団から標本を取り出します。標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差が $3$ 以下になるようにするには、標本の大きさ $n$ をいくつ以上にすればよいか求めなさい。

解答・解説を見る

まず、母標準偏差を求めます。母分散が $900$ なので、

$\sigma = \sqrt{900} = 30$

標本平均の標準偏差の公式 $\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ に $\sigma=30$ を代入し、これが $3$ 以下になるという条件を不等式で表します。

$\frac{30}{\sqrt{n}} \leq 3$

両辺に $\sqrt{n}$ をかけます（$\sqrt{n}>0$ なので不等号の向きは変わりません）。

$30 \leq 3\sqrt{n}$

両辺を $3$ で割ります。

$10 \leq \sqrt{n}$

両辺を2乗します（両辺とも正の数なので、2乗しても不等号の向きは変わりません）。

$100 \leq n$

したがって、$n\geq100$ であればよいことが分かります。標本の大きさは整数でなければならないので、求める最小の $n$ は、

$n = 100$

したがって、標本の大きさを$100$以上にすればよいです。

練習問題

問題1

母平均 $70$、母標準偏差 $12$ の母集団から、大きさ $36$ の標本を取り出すとき、標本平均 $\overline{X}$ の期待値と標準偏差を求めなさい。

答え

$E(\overline{X})=70$、$\sigma(\overline{X})=\dfrac{12}{\sqrt{36}}=\dfrac{12}{6}=2$

問題2

母平均 $50$、母標準偏差 $15$ の母集団から、大きさ $225$ の標本を取り出します。中心極限定理を用いて、標本平均 $\overline{X}$ が $49$ 以上 $52$ 以下となる確率を求めなさい。ただし $P(0\leq Z\leq1)=0.3413$、$P(0\leq Z\leq2)=0.4772$ とします。

答え

$\sigma(\overline{X})=\dfrac{15}{\sqrt{225}}=\dfrac{15}{15}=1$。$z_1=\dfrac{49-50}{1}=-1$、$z_2=\dfrac{52-50}{1}=2$。

$P(-1\leq Z\leq2)=0.3413+0.4772=0.8185$

問題3

母標準偏差が $40$ である母集団から標本を取り出すとき、標本平均の標準偏差を $5$ 以下にするには、標本の大きさをいくつ以上にすればよいか求めなさい。

答え

$\dfrac{40}{\sqrt{n}}\leq5$ より $\sqrt{n}\geq8$、両辺を2乗して $n\geq64$。