積和・和積の公式

要点整理

積和の公式の導出

積和の公式は、加法定理の4つの式を組み合わせて作ります。まず、次の4つの式を用意します(これはすべて加法定理そのものです)。

$\sin(A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B \quad \cdots ①$

$\sin(A-B) = \sin A\cos B-\cos A\sin B \quad \cdots ②$

$\cos(A+B) = \cos A\cos B-\sin A\sin B \quad \cdots ③$

$\cos(A-B) = \cos A\cos B+\sin A\sin B \quad \cdots ④$

①+②を計算する: 左辺どうし、右辺どうしを足します。右辺では $\cos A\sin B$ の項が $+\cos A\sin B$ と $-\cos A\sin B$ で打ち消し合います。

$\sin(A+B)+\sin(A-B) = 2\sin A\cos B$

両辺を $2$ で割ると、

$\sin A\cos B = \frac12\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$

①-②を計算する: 今度は $\sin A\cos B$ の項が打ち消し合います。

$\sin(A+B)-\sin(A-B) = 2\cos A\sin B$

$\cos A\sin B = \frac12\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}$

③+④を計算する: $-\sin A\sin B$ と $+\sin A\sin B$ が打ち消し合います。

$\cos(A+B)+\cos(A-B) = 2\cos A\cos B$

$\cos A\cos B = \frac12\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$

④-③を計算する: $\cos A\cos B$ どうしが打ち消し合います。

$\cos(A-B)-\cos(A+B) = 2\sin A\sin B$

$\sin A\sin B = \frac12\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$

以上4つが積和の公式です。「三角関数の積」を「三角関数の和や差」に変換できるので、積分の計算などで積のままでは扱いにくい式を扱いやすくするのに役立ちます。

和積の公式の導出

積和の公式を、今度は逆向きに使います。$A+B=X$、$A-B=Y$ とおくと、この2式を $A, B$ について解くことができます。2式を足すと $2A=X+Y$ より $A=\dfrac{X+Y}{2}$、2式を引くと $2B=X-Y$ より $B=\dfrac{X-Y}{2}$ となります。

これを、先ほど導いた4つの積和の公式に代入します。例えば $\sin A\cos B=\dfrac12\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$ に $A+B=X$、$A-B=Y$、$A=\dfrac{X+Y}{2}$、$B=\dfrac{X-Y}{2}$ を代入すると、

$\sin\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2} = \frac12(\sin X+\sin Y)$

両辺を $2$ 倍すると、

$\sin X+\sin Y = 2\sin\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}$

同じ手順を他の3つの積和公式にも適用すると、次の和積の公式が得られます。

$\sin X+\sin Y = 2\sin\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}$

$\sin X-\sin Y = 2\cos\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2}$

$\cos X+\cos Y = 2\cos\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}$

$\cos X-\cos Y = -2\sin\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2}$

これらは「三角関数の和や差」を「三角関数の積」に変換する公式です。$\dfrac{X+Y}{2}$ は2つの角の平均、$\dfrac{X-Y}{2}$ は2つの角の差の半分にあたります。

積和・和積の公式は数が多く覚えにくいですが、加法定理さえ覚えていれば、その場で導出できるということを知っておくと安心です。

例題

例題1(基本)

問題 積和の公式を使って、$\sin75°\cos15°$ を求めなさい。

解答・解説を見る

$\sin A\cos B=\dfrac12\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$ に $A=75°$、$B=15°$ を代入します。

$\sin75°\cos15° = \frac12\{\sin(75°+15°)+\sin(75°-15°)\} = \frac12\{\sin90°+\sin60°\}$

$\sin90°=1$、$\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}$ を代入すると、

$= \frac12\left(1+\frac{\sqrt3}{2}\right) = \frac12\times\frac{2+\sqrt3}{2} = \frac{2+\sqrt3}{4}$

例題2(標準)

問題 和積の公式を使って、$\cos75°+\cos15°$ を求めなさい。

解答・解説を見る

$\cos X+\cos Y=2\cos\dfrac{X+Y}{2}\cos\dfrac{X-Y}{2}$ に $X=75°$、$Y=15°$ を代入します。まず、

$\frac{X+Y}{2} = \frac{75°+15°}{2} = \frac{90°}{2} = 45°, \qquad \frac{X-Y}{2} = \frac{75°-15°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$

これらを代入すると、

$\cos75°+\cos15° = 2\cos45°\cos30°$

$\cos45°=\dfrac{\sqrt2}{2}$、$\cos30°=\dfrac{\sqrt3}{2}$ を代入すると、

$= 2\times\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt3}{2} = \frac{2\sqrt6}{4} = \frac{\sqrt6}{2}$

例題3(応用)

問題 $0<\theta<\pi$ のとき、方程式 $\sin3\theta-\sin\theta=0$ を解きなさい。

解答・解説を見る

和積の公式 $\sin X-\sin Y=2\cos\dfrac{X+Y}{2}\sin\dfrac{X-Y}{2}$ に $X=3\theta$、$Y=\theta$ を代入します。

$\frac{X+Y}{2} = \frac{3\theta+\theta}{2} = \frac{4\theta}{2} = 2\theta, \qquad \frac{X-Y}{2} = \frac{3\theta-\theta}{2} = \frac{2\theta}{2} = \theta$

よって、

$\sin3\theta-\sin\theta = 2\cos2\theta\sin\theta$

方程式は $2\cos2\theta\sin\theta=0$ となります。積が $0$ になるのは、どちらかの因数が $0$ になるときなので、

$\cos2\theta=0 \quad \text{または} \quad \sin\theta=0$

$\sin\theta=0$ の場合: $0<\theta<\pi$ の範囲にはこれを満たす $\theta$ はありません($\theta=0,\pi$ は範囲に含まれないため)。

$\cos2\theta=0$ の場合: $0<\theta<\pi$ より $0<2\theta<2\pi$ です。この範囲で $\cos2\theta=0$ となるのは、

$2\theta = \frac{\pi}{2}, \ \frac{3\pi}{2}$

よって、

$\theta = \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}$

答え: $\theta=\dfrac{\pi}{4}, \ \dfrac{3\pi}{4}$

練習問題

問題 積和の公式を使って $\cos40°\cos80°$ を求めなさい(答えは $\cos$ を含む形で構いません)。

答え

$\cos A\cos B=\dfrac12\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$ より、

$\cos40°\cos80° = \frac12\{\cos120°+\cos40°\} = \frac12\left(-\frac12+\cos40°\right) = -\frac14+\frac12\cos40°$