数学III / 極限
頻出解法パターン
パターン1: 分数式の極限は「最高次の項で割る」
こんな問題で使う
数列や関数の極限で、分子・分母がともに $n$(または $x$)の多項式になっている分数の極限を求める問題。特に $n\to\infty$ や $x\to\pm\infty$ のとき。
解法の手順
- 分母の中で、次数が最も高い項を確認する。
- その項で、分子・分母の両方を割る。
- $\dfrac{1}{n}\to 0$、$\dfrac{1}{n^2}\to 0$ などを使って、割った後の各項の極限を求める。
- 分子の次数の方が高ければ発散、分子と分母の次数が同じなら最高次の係数どうしの比、分母の次数の方が高ければ $0$ に収束する、とまとめて結論づける。
具体例
$\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2-n}{2n^2+3}$
分母の最高次の項 $n^2$ で分子・分母を割ると、
$\frac{4-\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{3}{n^2}} \to \frac{4-0}{2+0} = 2$
パターン2: $\infty-\infty$ の形は有理化する
こんな問題で使う
根号を含む式の引き算(または和)の極限で、そのままでは $\infty-\infty$ の不定形になってしまう問題。
解法の手順
- 共役な式(根号の前の符号を変えたもの)を、分子・分母の両方に掛ける。
- $(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2$ を使って分子を展開し、根号のない簡単な式に整理する。
- 得られた分数式に対して、パターン1(最高次の項で割る)を適用する。
- $x\to-\infty$ を含む場合は $\sqrt{x^2}=|x|=-x$($x<0$ のとき)であることに注意する。
具体例
$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)$
$\sqrt{x^2+2x}+x$ を分子・分母に掛けて有理化すると、
$\sqrt{x^2+2x}-x = \frac{(x^2+2x)-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}$
$x>0$ として分子・分母を $x$ で割ると、
$\frac{2}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+1} \to \frac{2}{1+1} = 1$
パターン3: 収束条件は不等式を立てて場合分け
こんな問題で使う
数列 $\{r^n\}$ や無限等比級数 $\sum ar^{n-1}$ の収束・発散を、文字を含む公比について調べる問題。
解法の手順
- 問題の中で、公比 $r$ にあたる式(文字を含む式であることが多い)を特定する。
- 「数列 $\{r^n\}$」の収束条件($-1
- 不等式を解いて、文字の値の範囲を求める。
- 各辺に負の数を掛けたり、負の数で割ったりするときは、不等号の向きが反転することを忘れない。
具体例
数列 $\{(3x-1)^n\}$ が収束する $x$ の範囲を求める場合、
$-1<3x-1\leq 1$
各辺に $1$ を足すと $0<3x\leq 2$、さらに $3$ で割ると
$0 こんな問題で使う $x\to 0$ のときの、$\sin$ や $\tan$ を含む分数式の極限を求める問題。 解法の手順 具体例 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\tan 2x}$ 分子・分母をそれぞれ $x$ で割ると、 $\frac{\sin 4x}{\tan 2x} = \frac{4\times\dfrac{\sin 4x}{4x}}{2\times\dfrac{\tan 2x}{2x}} \to \frac{4\times 1}{2\times 1} = 2$ こんな問題で使う $\sin$ や $\cos$ など、値が細かく変動して直接は極限が求めにくい部分を含む数列・関数の極限を求める問題。 解法の手順 具体例 $\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n^2}$ $-1\leq\cos n\leq 1$ の各辺を正の数 $n^2$ で割ると、 $-\frac{1}{n^2}\leq\frac{\cos n}{n^2}\leq\frac{1}{n^2}$ 両端はともに $0$ に収束するので、はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n^2}=0$ こんな問題で使う 「方程式 $\bigcirc\bigcirc=0$ は $a 解法の手順 具体例 方程式 $x^3-x-1=0$ が $1 $f(1)=1-1-1=-1<0,\qquad f(2)=8-2-1=5>0$ 異符号なので、中間値の定理より $1 こんな問題で使う 絶対値を含む関数や、区間ごとに定義が変わる関数について、ある点での極限や連続性を調べる問題。 解法の手順 具体例 $f(x)=\dfrac{|x+1|}{x+1}$ の $x=-1$ における極限を調べる場合、$x>-1$ では $f(x)=1$、$x<-1$ では $f(x)=-1$ となる。右極限は $1$、左極限は $-1$ で一致しないため、$\displaystyle\lim_{x\to -1}f(x)$ は存在しない。パターン4: $\sin$・$\tan$ の極限は「形をそろえてから置換」
パターン5: 直接求めにくい極限は「はさみうちの原理」
パターン6: 「解の存在を示せ」は中間値の定理
パターン7: 場合分け関数は左極限・右極限を必ず両方計算する