数学C / ベクトル
空間ベクトルの内積
要点整理
内積の定義(空間でも同じ)
空間ベクトルでも、内積の定義そのものは平面のときと変わりません。$\vec{a}$、$\vec{b}$ を零ベクトルでないベクトルとし、始点をそろえたときのなす角を $\theta$($0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$)とすると、
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
です。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ がどんな向きを向いていても、この2つのベクトルは必ず1つの平面(始点と2つの終点の3点を通る平面)の上に乗るため、平面のときの議論がそのまま使えるからです。
内積の成分計算(空間版)
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$、$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ のとき、
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$
この公式が成り立つ理由を、平面のときと同じ手順で確認します。原点を $\mathrm{O}$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$ とすると、$\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の3点は(一直線上にない限り)1つの平面を作り、その平面の中で $\triangle \mathrm{OAB}$ の余弦定理が使えます。平面ベクトルのページと同じ式変形により、
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{b}-\vec{a}|^2}{2}$
が成り立ちます。ここに空間の成分を代入します。$|\vec{a}|^2 = a_1^2+a_2^2+a_3^2$、$|\vec{b}|^2=b_1^2+b_2^2+b_3^2$、そして $\vec{b}-\vec{a} = (b_1-a_1,\ b_2-a_2,\ b_3-a_3)$ なので、
$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = (b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2$
各項を展開すると、$(b_1-a_1)^2 = b_1^2-2a_1b_1+a_1^2$ のようになるので、
$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = (b_1^2-2a_1b_1+a_1^2)+(b_2^2-2a_2b_2+a_2^2)+(b_3^2-2a_3b_3+a_3^2)$
したがって、
$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{b}-\vec{a}|^2 = (a_1^2+a_2^2+a_3^2)+(b_1^2+b_2^2+b_3^2) - \left[(b_1^2+b_2^2+b_3^2) - 2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3) + (a_1^2+a_2^2+a_3^2)\right]$
$a_1^2+a_2^2+a_3^2$ どうし、$b_1^2+b_2^2+b_3^2$ どうしがそれぞれ打ち消し合い、
$= 2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)$
これを $2$ で割ると、
$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
となり、公式が確かめられました。
内積の性質と垂直条件(空間でも同じ)
内積の性質、垂直条件、なす角の公式は、平面のときとまったく同じ形です。
- $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$
- $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
- $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$
- 垂直条件: $\vec{a}\neq\vec{0}$、$\vec{b}\neq\vec{0}$ のとき、$\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0$
- なす角: $\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
計算のやり方は完全に平面のときと同じで、成分の個数が2個から3個に増えただけです。
例題
例題1(基本)
問題
$\vec{a} = (1, -1, 2)$、$\vec{b} = (2, 1, 1)$ のとき、次のものを求めなさい。
(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$
解答・解説を見る
(1) 成分公式 $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ に代入します。
$\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\times 2 + (-1)\times 1 + 2\times 1 = 2 - 1 + 2 = 3$
(2) $|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$ を求めます。
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2+1^2+1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
なす角の公式に代入します。
$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{3}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ となる角は $\theta = 60^\circ$ です。
答え: (1) $\vec{a}\cdot\vec{b} = 3$ (2) $\theta = 60^\circ$
例題2(標準)
問題
$\vec{a} = (3, 1, -2)$、$\vec{b} = (1, -2, 2)$ とする。$\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{b}$ に垂直になるように、実数 $t$ の値を求めなさい。
解答・解説を見る
垂直条件より、$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot\vec{b} = 0$ です。左辺を分配法則で展開します。
$\vec{a}\cdot\vec{b} + t(\vec{b}\cdot\vec{b}) = 0$
$\vec{b}\cdot\vec{b} = |\vec{b}|^2$ なので、
$\vec{a}\cdot\vec{b} + t|\vec{b}|^2 = 0$
それぞれの値を計算します。
$\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\times 1 + 1\times(-2) + (-2)\times 2 = 3 - 2 - 4 = -3$
$|\vec{b}|^2 = 1^2+(-2)^2+2^2 = 1+4+4 = 9$
これらを代入します。
$-3 + 9t = 0$
$9t = 3$
$t = \frac{1}{3}$
答え: $t = \dfrac{1}{3}$
(検算: $\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b} = (3,1,-2)+\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right) = \left(\dfrac{10}{3},\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3}\right)$。この内積を $\vec{b}=(1,-2,2)$ と取ると、$\dfrac{10}{3}\times1+\dfrac{1}{3}\times(-2)+\left(-\dfrac{4}{3}\right)\times2 = \dfrac{10}{3}-\dfrac{2}{3}-\dfrac{8}{3} = \dfrac{10-2-8}{3}=0$ となり、確かに垂直です。)
例題3(応用)
問題
3点 $\mathrm{A}(1, 0, 0)$、$\mathrm{B}(0, 2, 0)$、$\mathrm{C}(0, 0, 3)$ について、$\angle \mathrm{BAC}$ の余弦 $\cos(\angle \mathrm{BAC})$ を求めなさい。
解答・解説を見る
$\angle \mathrm{BAC}$ は、頂点 $\mathrm{A}$ から見た $\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ の方向のなす角です。つまり、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ のなす角を求めればよいということです。
まず、それぞれのベクトルを成分表示します。
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (0-1,\ 2-0,\ 0-0) = (-1, 2, 0)$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}} = (0-1,\ 0-0,\ 3-0) = (-1, 0, 3)$
内積を計算します。
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = (-1)\times(-1) + 2\times 0 + 0\times 3 = 1 + 0 + 0 = 1$
大きさをそれぞれ計算します。
$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} = \sqrt{1+4+0} = \sqrt{5}$
$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| = \sqrt{(-1)^2+0^2+3^2} = \sqrt{1+0+9} = \sqrt{10}$
なす角の公式に代入します。
$\cos(\angle\mathrm{BAC}) = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|} = \frac{1}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$
$\sqrt{50}$ を簡単にします。$50 = 25\times 2$ なので $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ です。
$\cos(\angle\mathrm{BAC}) = \frac{1}{5\sqrt{2}}$
分母に根号が残っているので、分母を有理化します。分母・分子に $\sqrt{2}$ を掛けます。
$\frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{1\times\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5\times 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$
答え: $\cos(\angle\mathrm{BAC}) = \dfrac{\sqrt{2}}{10}$
(この値は正なので、$\angle\mathrm{BAC}$ は鋭角であることがわかります。$45^\circ$ や $60^\circ$ のような特別な角にはなりませんが、内積を使えばこのように一般の三角形の角度の余弦を求めることができます。)
練習問題
問題1
$\vec{a} = (2, -1, 3)$、$\vec{b} = (1, 2, -1)$ のとき、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めなさい。
答え
$\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\times1+(-1)\times2+3\times(-1) = 2-2-3 = -3$
問題2
$\vec{a} = (x, 1, -2)$、$\vec{b} = (3, x, 4)$ が垂直であるとき、$x$ の値を求めなさい。
答え
$x = 2$
(解説: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 3x + x - 8 = 4x-8$。垂直条件より $4x-8=0$ なので $x=2$。)
問題3
$|\vec{a}| = 2$、$|\vec{b}| = 5$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^\circ$ であるとき、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ と $|\vec{a}+\vec{b}|$ を求めなさい。
答え
$\vec{a}\cdot\vec{b} = 5$、$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{39}$
(解説: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\times5\times\cos60^\circ = 10\times\dfrac{1}{2}=5$。$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2 = 4+10+25=39$ より $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{39}$。)