微分法 公式ページ

積の微分法

$$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

商の微分法

$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

合成関数の微分法(連鎖律)

$$\{f(g(x))\}' = f'(g(x))\,g'(x)$$

べき乗型の合成関数の微分(頻出パターン)

$$\{g(x)^n\}' = n\,g(x)^{n-1}g'(x)$$

sinの導関数

$$(\sin x)' = \cos x$$

cosの導関数

$$(\cos x)' = -\sin x$$

tanの導関数

$$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$

指数関数の導関数

$$(e^x)' = e^x,\qquad (a^x)' = a^x\log a\ (a>0,\ a\neq 1)$$

対数関数の導関数

$$(\log x)' = \frac{1}{x},\qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x\log a}\ (a>0,\ a\neq 1)$$

媒介変数表示の微分法

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}\quad (f'(t)\neq 0)$$

陰関数の微分の基本操作

$$\frac{d}{dx}\{y^n\} = n\,y^{n-1}\frac{dy}{dx}$$

高次導関数の表し方

$$f''(x) = \frac{d}{dx}\{f'(x)\},\qquad f'''(x) = \frac{d}{dx}\{f''(x)\}$$

接線の方程式

$$y-f(a) = f'(a)(x-a)$$

法線の方程式

$$y-f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a)\quad (f'(a)\neq 0)$$

平均値の定理

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\quad (a

凹凸の判定

$$f''(x)>0 \implies \text{下に凸},\qquad f''(x)<0 \implies \text{上に凸}$$

第2次導関数による極値の判定法

$$f'(a)=0,\ f''(a)<0 \implies x=a\ \text{で極大},\qquad f'(a)=0,\ f''(a)>0 \implies x=a\ \text{で極小}$$

直線上の運動の速度・加速度

$$v(t) = \frac{dx}{dt},\qquad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$$

平面上の運動の速度・加速度

$$\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt}\right),\quad |\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2},\quad \vec{a} = \left(\frac{d^2x}{dt^2},\ \frac{d^2y}{dt^2}\right)$$

近似式

$$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h\quad (h\ \text{が}\ 0\ \text{に近いとき})$$