数学III

積分法

積分の技法を広げ、面積や体積、道のりなど、現実の問題に応用できる力を身につけます。

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この単元のトピック一覧

• いろいろな関数の不定積分 数学IIで学んだ不定積分の考え方をもとに、三角関数・指数関数・対数関数の不定積分の公式、そして $\frac{1}{x}$ の不定積分が $\log|x|+C$ になることを学びます。
• 置換積分法 微分の連鎖律を逆向きに使う「置換積分法」を学びます。特に $\int g(x)^n g'(x)\,dx$ や $\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx$ という2つの頻出パターンを見抜けるようにします。
• 部分積分法 積の微分法を逆向きに使う「部分積分法」を学びます。$x^n$ と三角関数・指数関数の積、$\log x$ を含む積分などを計算できるようにします。
• 定積分の計算とその性質 置換積分法・部分積分法を定積分に応用する方法と、定積分の基本的な性質、特に偶関数・奇関数の対称性を利用した計算のショートカットを学びます。
• 面積の計算 数学IIで学んだ面積の計算を、指数関数・対数関数・三角関数の曲線や、媒介変数で表された曲線にまで広げて求める方法を学びます。
• 体積の計算(回転体を含む) 立体を薄い断面に輪切りにして積分する考え方を学び、$x$軸や$y$軸のまわりに図形を回転させてできる回転体の体積を求める方法を身につけます。
• 曲線の長さ・速度と道のり 曲線の長さを積分で求める公式を学び、直線上を動く点の「道のり(動いた距離の合計)」と「変位(位置の変化量)」の違いを理解します。
• 区分求積法と定積分の関係 区間を細かく等分してできる和(リーマン和)の極限として定積分をとらえる「区分求積法」を学び、$\Sigma$ を含む数列の極限を定積分に変換して計算する方法を身につけます。