数学A

場合の数と確率

「何通りあるか」を数える場合の数と、そこから確率を求める考え方を学びます。丁寧に数え上げる姿勢が一番の近道です。

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この単元のトピック一覧

• 集合の要素の個数 集合の要素の個数を数えるための公式(和集合の要素の個数、補集合の要素の個数)を使って、条件を満たす要素の個数を求める方法を学びます。
• 場合の数と樹形図・積の法則 「もれなく、重複なく」場合の数を数えるための道具である樹形図の考え方と、続けて起こる事柄の場合の数をかけ算で求める積の法則、排反な事柄の場合の数をたし算で求める和の法則の使い方を学びます。
• 順列 5人から3人を選んで並べるように「異なるものから何個かを取り出し、順序を区別して並べる」場合の数を求める順列(nPr)の考え方と公式を、具体例を通して学びます。
• 円順列・重複順列 円形に並べる場合の数を数える円順列(n-1)!と、同じものを何度でも使ってよい重複順列(n^r)の考え方を、順列の知識をもとに一歩ずつ整理します。
• 組合せ 「組合せ」は順序を考えずに何個かを選び出す場合の数を求める考え方です。順列との違いを確認しながら、nCrの公式とその使い方を学びます。
• 重複組合せと二項定理との関係 「重複組合せ」の考え方を組合せ(nCr)の公式を使って導き、その考え方が二項定理の各項の数え方とぴったり対応していることを学びます。
• 確率の基本性質 試行・事象・全事象といった言葉の意味を確認したうえで、確率の定義 P(A)=n(A)/n(U) と、確率が満たす基本性質、そして余事象を使った確率の求め方を学びます。
• 確率の加法定理 2つの事象の「または」の確率を求める加法定理と、同時には起こらない排反事象の場合の使い方を学びます。
• 独立試行の確率 互いに影響を与えない2つ以上の試行(独立試行)について、それぞれの事象が起こる確率をかけ算するだけで同時に起こる確率が求められることを学びます。
• 反復試行の確率 同じ試行を何度もくり返すとき、ある事象がちょうど何回起こるかを求める「反復試行の確率」の公式を、組合せの考え方と独立試行の確率をもとに一歩ずつ導きます。
• 条件付き確率とベイズの考え方 「ある事象が起こったとわかったあとで、別の事象が起こる確率」を求める条件付き確率と、結果から原因を逆にたどるベイズの考え方を学びます。
• 期待値 確率変数がとる値とその確率をもとに、試行を何度も繰り返したときに平均していくらになるかを表す「期待値」の意味と求め方を学びます。