独立試行の確率

硬貨を投げる試行で「表が出る」事象を $A$、さいころを投げる試行で「目が5以上になる」事象を $B$ とします。

まず、それぞれの確率を求めます。硬貨の表と裏は同様に確からしい(どちらも同じくらい起こりやすい)ので、

$P(A) = \frac{1}{2}$

さいころの目のうち「5以上」となるのは5と6の2通りです。さいころの目の出方は全部で6通りあり、どの目も同様に確からしいので、

$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

硬貨を投げる試行とさいころを投げる試行は、互いに結果が影響し合わない独立な試行です。したがって、乗法定理

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

が使えます。ここに $P(A) = \dfrac{1}{2}$、$P(B) = \dfrac{1}{3}$ を代入すると、

$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

よって、求める確率は $\dfrac{1}{6}$ です。

(1)の解説

袋Aから玉を取り出す試行を試行1、袋Bから玉を取り出す試行を試行2とします。袋Aで取り出した玉の色は、別の袋である袋Bから玉を取り出す結果にまったく影響しませんので、この2つの試行は独立です。

袋Aから赤玉が出る事象を $A$ とすると、袋Aには玉が全部で $3 + 2 = 5$ 個入っていて、そのうち赤玉は3個なので、

$P(A) = \frac{3}{5}$

袋Bから赤玉が出る事象を $B$ とすると、袋Bには玉が全部で $2 + 4 = 6$ 個入っていて、そのうち赤玉は2個なので、

$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

試行1と試行2は独立なので、乗法定理より、

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

よって、求める確率は $\dfrac{1}{5}$ です。

(2)の解説

「少なくとも一方が赤玉である」という事象をそのまま求めようとすると、「Aだけ赤」「Bだけ赤」「両方赤」という3つの場合を考えなければならず、少し面倒です。このようなときは、余事象(ある事象が起こらないという事象のこと)を使うと計算が簡単になります。

「少なくとも一方が赤玉である」の余事象は、「AもBも赤玉ではない(どちらも白玉である)」という事象です。

袋Aから白玉が出る確率は、赤玉が出ない確率なので、

$1 - P(A) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

袋Bから白玉が出る確率も同様に、

$1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

袋Aから白玉が出ることと袋Bから白玉が出ることも、独立な試行の中の事象なので、乗法定理より、

$\left(\text{AもBも白玉である確率}\right) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$

したがって、「少なくとも一方が赤玉である」確率は、全体の確率1からこの余事象の確率を引いて、

$1 - \frac{4}{15} = \frac{15}{15} - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$

よって、求める確率は $\dfrac{11}{15}$ です。

まず、それぞれが「命中しない」確率を求めておきます。ある事象が起こる確率と、その事象が起こらない確率(余事象の確率)を足すと必ず1になることを使います。

$P(A\text{が外す}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \quad P(B\text{が外す}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \quad P(C\text{が外す}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

次に、「ちょうど2人だけが命中する」という事象を、具体的にどの2人が命中するかで場合分けします。3人のうち命中する2人の組み合わせは、次の3通りです。

• (i) AとBが命中し、Cが外す
• (ii) AとCが命中し、Bが外す
• (iii) BとCが命中し、Aが外す

この(i)、(ii)、(iii)の3つの場合は、同時には起こりません(たとえば(i)が起こっているときは、Bが命中してCが外していますので、(ii)や(iii)のように「Cが命中する」「Aが外す」という状況にはなっていません)。つまり、この3つの事象は互いに排反です。

そこで、まず(i)、(ii)、(iii)それぞれの確率を独立な試行の乗法定理を使って求め、最後に排反事象の加法定理(足し算)でまとめます。

(i) AとBが命中し、Cが外す確率

A、B、Cが矢を射るのはそれぞれ独立な試行なので、

$P(\text{i}) = P(A\text{が命中}) \times P(B\text{が命中}) \times P(C\text{が外す}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 1 \times 3}{2 \times 3 \times 4} = \frac{3}{24}$

(ii) AとCが命中し、Bが外す確率

同様に、

$P(\text{ii}) = P(A\text{が命中}) \times P(B\text{が外す}) \times P(C\text{が命中}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 2 \times 1}{2 \times 3 \times 4} = \frac{2}{24}$

(iii) BとCが命中し、Aが外す確率

同様に、

$P(\text{iii}) = P(A\text{が外す}) \times P(B\text{が命中}) \times P(C\text{が命中}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1 \times 1}{2 \times 3 \times 4} = \frac{1}{24}$

3つの場合を足し合わせる

(i)、(ii)、(iii)は互いに排反なので、加法定理より、求める確率はこの3つの確率の和になります。分母はすでに24にそろっているので、そのまま分子だけを足し算します。

$P(\text{i}) + P(\text{ii}) + P(\text{iii}) = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

よって、求める確率は $\dfrac{1}{4}$ です。

硬貨が裏になる確率は $P(\text{裏}) = \dfrac{1}{2}$、さいころの目が3の倍数(3か6)になる確率は $P(\text{3の倍数}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ です。この2つの試行は独立なので、乗法定理より、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

答え:$\dfrac{1}{6}$