数学I / 数と式
集合の基本(共通部分・和集合・補集合)
要点整理
「数と式」という単元の中で、この単元では文字式の計算から少し離れて、「ものの集まり」そのものを数学の言葉として扱う練習をします。ここで学ぶ「集合」という考え方は、この先の数学のいろいろな場面で「言葉」として使われていくので、記号の意味を1つずつ、あせらずに確認していきましょう。
集合とは何か
数学でいう「集合」とは、「ある範囲のものが、その集まりに入るかどうかが、誰が考えてもはっきり決まる集まり」のことです。
たとえば「10以下の正の偶数の集まり」は、2, 4, 6, 8, 10 という数がはっきり決まるので集合です。一方で「大きい数の集まり」は、「大きい」の基準が人によって違うので、数学でいう集合とは呼びません。
集合を作っている1つ1つのものを、その集合の要素と呼びます。たとえば集合 $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ において、2 や 4 は $A$ の要素です。このように、要素を全部書き並べて集合を表す方法を外延的記法と呼びます。
「$a$ が集合 $A$ の要素である」ことを、記号を使って
$a \in A$
と書きます。逆に「$a$ が集合 $A$ の要素ではない」ことは
$a \notin A$
と書きます。たとえば $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ のとき、$4 \in A$ は正しく、$5 \notin A$ も正しい式です。
集合は、要素を書き並べる代わりに、「どういう条件を満たす数の集まりか」という条件で表すこともできます。この表し方を内包的記法と呼びます。たとえば
$A = \{x \mid x \text{は10以下の正の偶数}\}$
と書けば、これは $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ と同じ集合を表しています。記号 $\mid$ は「ただし」のような意味で、その左側にある文字 $x$ が、右側の条件を満たすものを全部集めた集合ですよ、という意味になります。
部分集合
2つの集合 $A$, $B$ があるとき、「$A$ のどの要素も、必ず $B$ の要素にもなっている」という関係が成り立つとき、$A$ は $B$ の部分集合であるといい、
$A \subset B$
と書きます。たとえば $A = \{2, 4\}$, $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ のとき、$A$ の要素である 2 も 4 も、どちらも $B$ の要素になっているので、$A \subset B$ が成り立ちます。
共通部分
ここからが、このページの中心になる内容です。2つの集合 $A$, $B$ について、「$A$ にも $B$ にも両方入っている要素」だけを集めてできる集合を、$A$ と $B$ の共通部分と呼び、
$A \cap B$
と書きます(記号 $\cap$ は「キャップ」と読みます)。
具体例で確認しましょう。10以下の自然数を全部集めた集合を全体として考え、
$A = \{2, 4, 6, 8, 10\} \quad (2\text{の倍数}), \qquad B = \{3, 6, 9\} \quad (3\text{の倍数})$
とします。$A$ の要素を1つずつ、$B$ にも入っているか確認していきます。
- 2 は $B$ に入っていない
- 4 は $B$ に入っていない
- 6 は $B$ に入っている → 共通部分に入れる
- 8 は $B$ に入っていない
- 10 は $B$ に入っていない
したがって、
$A \cap B = \{6\}$
となります。頭の中で、2つの丸(円)が重なったベン図をイメージすると、共通部分は「2つの丸が重なっている部分」に対応します。
もし $A$ と $B$ に共通する要素が1つもない場合は、要素が1つもない集合である空集合 $\emptyset$ を使って $A \cap B = \emptyset$ と表し、このとき $A$ と $B$ は「互いに素である」といいます。
和集合
2つの集合 $A$, $B$ について、「$A$ か $B$ の少なくとも一方に入っている要素」を全部集めてできる集合を、$A$ と $B$ の和集合と呼び、
$A \cup B$
と書きます(記号 $\cup$ は「カップ」と読みます)。「少なくとも一方」なので、両方に入っている要素も含めて、とにかく $A$ か $B$ のどちらかに顔を出している数を全部拾い集める、というイメージです。
先ほどと同じ $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$, $B = \{3, 6, 9\}$ で考えると、$A$ の要素をすべて書き、そこに $B$ の要素のうちまだ書いていないものを付け加えます。
- $A$ の要素:2, 4, 6, 8, 10
- $B$ の要素のうち、まだ出てきていないもの:3, 9(6はすでに書いてあるので付け加えない)
したがって、
$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$
となります。ベン図でいえば、和集合は「2つの丸を合わせた全体」に対応します。
全体集合と補集合
考える対象の範囲を最初に1つ決めておき、それを全体集合と呼んで、記号 $U$ で表すことがよくあります。たとえば「10以下の自然数」全体を考えるなら、
$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
です。
全体集合 $U$ の中で、ある集合 $A$ の要素ではないものを全部集めてできる集合を、$A$ の補集合と呼び、
$\overline{A}$
と書きます($A$ の上に横線を引いた記号です)。つまり $\overline{A}$ とは、「$U$ の要素のうち $A$ に入っていないもの」の集まりです。
先ほどの $U = \{1, 2, \ldots, 10\}$、$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ で考えると、$U$ の要素を1つずつ見ていき、$A$ に入っていないものだけを拾います。
- 1 は $A$ にない → $\overline{A}$ に入れる
- 2 は $A$ にある → 入れない
- 3 は $A$ にない → 入れる
- 4 は $A$ にある → 入れない
- 5 は $A$ にない → 入れる
- 6 は $A$ にある → 入れない
- 7 は $A$ にない → 入れる
- 8 は $A$ にある → 入れない
- 9 は $A$ にない → 入れる
- 10 は $A$ にある → 入れない
したがって、
$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$
となります。$A$ が「偶数の集合」なので、補集合 $\overline{A}$ は「(10以下の自然数の中の)奇数の集合」になっている、ということです。
ド・モルガンの法則
共通部分・和集合・補集合の3つを組み合わせると、次の関係がいつでも成り立つことが知られています。これをド・モルガンの法則と呼びます。
$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
言葉で言うと、1つ目の式は「($A$ または $B$ に入っている)の補集合」は「($A$ に入っていない)かつ($B$ に入っていない)」と同じ、という意味です。2つ目の式は「($A$ かつ $B$)の補集合」は「($A$ に入っていない)または($B$ に入っていない)」と同じ、という意味です。
さきほどの $U = \{1, \ldots, 10\}$, $A = \{2,4,6,8,10\}$, $B = \{3,6,9\}$ で、1つ目の式が本当に成り立つか確認してみましょう。
左辺 $\overline{A \cup B}$ を求めます。まず $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ でした(先ほど求めた通りです)。$U$ からこれを除くと、
$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7\}$
です。
右辺 $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めます。$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ は先ほど求めました。同じように $\overline{B}$ を求めると、$B = \{3,6,9\}$ に入っていない $U$ の要素を拾って
$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$
です。この2つの共通部分を求めると、両方に入っている要素は 1, 5, 7 なので、
$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$
となります。
左辺も右辺も $\{1, 5, 7\}$ となり、確かに一致しました。ド・モルガンの法則は、後で習う「命題と条件」の単元でも重要な考え方として登場します。
例題
例題1(基本)
問題
全体集合を $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ とし、$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ とする。次の集合を求めよ。
(1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A}$
解答・解説を見る
(1) $A \cap B$ を求める
$A$ の要素を1つずつ、$B$ にも入っているか確認します。
- 1 は $B$ にない
- 2 は $B$ にない
- 3 は $B$ にある → 入れる
- 4 は $B$ にある → 入れる
- 5 は $B$ にある → 入れる
したがって、
$A \cap B = \{3, 4, 5\}$
(2) $A \cup B$ を求める
$A$ の要素をすべて書き、そこに $B$ の要素のうちまだ書いていないものを付け加えます。
- $A$ の要素:1, 2, 3, 4, 5
- $B$ の要素のうち、まだ出ていないもの:6, 7(3, 4, 5 はすでに書いてある)
したがって、
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
(3) $\overline{A}$ を求める
$U$ の要素のうち、$A$ に入っていないものを拾います。$U = \{1, \ldots, 10\}$ から $A = \{1,2,3,4,5\}$ を除くと、残るのは 6, 7, 8, 9, 10 です。したがって、
$\overline{A} = \{6, 7, 8, 9, 10\}$
例題2(標準)
問題
$1$ 以上 $20$ 以下の自然数全体を全体集合 $U$ とする。$A$ を「$4$ の倍数」の集合、$B$ を「$6$ の倍数」の集合とするとき、次の問いに答えよ。
(1) $A \cap B$ を求めよ。 (2) $A \cup B$ を求めよ。 (3) ド・モルガンの法則を利用して、$\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めよ。
解答・解説を見る
まず、$A$ と $B$ を外延的記法(要素を書き並べる形)で書き直します。
$1$ 以上 $20$ 以下で $4$ の倍数は、$4, 8, 12, 16, 20$ なので、
$A = \{4, 8, 12, 16, 20\}$
$1$ 以上 $20$ 以下で $6$ の倍数は、$6, 12, 18$ なので、
$B = \{6, 12, 18\}$
(1) $A \cap B$ を求める
$A$ の要素のうち $B$ にも入っているものを探すと、$12$ だけが両方に入っています(4と6の公倍数のうち20以下のものは12だけです)。したがって、
$A \cap B = \{12\}$
(2) $A \cup B$ を求める
$A$ の要素をすべて書き、$B$ の要素のうちまだ出ていないもの($6$, $18$)を付け加えます。
$A \cup B = \{4, 6, 8, 12, 16, 18, 20\}$
(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める
ここでは、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ をそれぞれ全部書き出してから共通部分を取る、という方法でもできますが、要点整理で確認したド・モルガンの法則
$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$
を使うと、(2)で求めた $A \cup B$ の補集合を1回計算するだけで済みます。
(2)より $A \cup B = \{4, 6, 8, 12, 16, 18, 20\}$ でした。$U = \{1, 2, \ldots, 20\}$ からこの7個の要素を取り除くと、残るのは
$1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19$
の13個です。したがって、
$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19\}$
このように、法則を知っていると、大きい集合を2つ作ってから共通部分を取るという手間を1つ減らすことができます。
例題3(応用)
問題
実数全体を全体集合 $U$ とする。$A = \{x \mid -3 \le x < 4\}$, $B = \{x \mid 0 < x \le 6\}$ とするとき、次の集合を、不等式を使って表せ。
(1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A}$
解答・解説を見る
$A$ は数直線上で $-3$ から $4$ の手前まで(左端の $-3$ は含み、右端の $4$ は含まない)の範囲、$B$ は $0$ より大きく $6$ 以下(左端の $0$ は含まず、右端の $6$ は含む)の範囲を表しています。頭の中で数直線を1本引き、その上に $A$ の範囲と $B$ の範囲を重ねて書いてみると考えやすくなります。
(1) $A \cap B$ を求める
共通部分は、「$A$ の範囲」と「$B$ の範囲」の両方に入っている部分です。
下限(左端)については、$A$ の下限は $-3$、$B$ の下限は $0$ です。両方の範囲に入るには、この2つのうち厳しい方(数直線上で右側にある方)の条件を満たす必要があるので、下限は $B$ 側の「$0$ より大きい」が採用されます。
上限(右端)については、$A$ の上限は $4$(含まない)、$B$ の上限は $6$(含む)です。両方の範囲に入るには、厳しい方(数直線上で左側にある方)の条件を満たす必要があるので、上限は $A$ 側の「$4$ より小さい」が採用されます。
したがって、
$A \cap B = \{x \mid 0 < x < 4\}$
(2) $A \cup B$ を求める
和集合は、「$A$ の範囲」または「$B$ の範囲」の少なくとも一方に入っている部分です。
下限については、$A$ の下限 $-3$ と $B$ の下限 $0$ のうち、範囲が広くなる方(数直線上で左側にある方)である $-3$ が採用されます。$-3$ は $A$ に含まれているので、和集合にも含まれます。
上限については、$A$ の上限 $4$ と $B$ の上限 $6$ のうち、範囲が広くなる方(数直線上で右側にある方)である $6$ が採用されます。$6$ は $B$ に含まれているので、和集合にも含まれます。
ここで注意したいのは、$A$ の範囲($-3 \le x < 4$)と $B$ の範囲($0 < x \le 6$)の間にすき間ができていないか、という点です。$A$ は $4$ の手前まで、$B$ は $0$ より大きいところから始まっているので、$0$ から $4$ の手前までは $A$ と $B$ の両方でカバーされており、すき間はありません。
したがって、
$A \cup B = \{x \mid -3 \le x \le 6\}$
(3) $\overline{A}$ を求める
$A = \{x \mid -3 \le x < 4\}$ に入らない実数は、「$-3$ より小さい」か、「$4$ 以上」のどちらかです。$-3$ ちょうどは $A$ に含まれる($-3 \le x$ の等号がある)ので $\overline{A}$ には含まれず、$4$ ちょうどは $A$ に含まれない($x < 4$ の等号がない)ので $\overline{A}$ に含まれることに注意してください。
したがって、
$\overline{A} = \{x \mid x < -3 \ \text{または} \ 4 \le x\}$
練習問題
問題
$1$ 以上 $12$ 以下の自然数全体を全体集合 $U$ とする。$A$ を「$3$ の倍数」の集合、$B$ を「$4$ の倍数」の集合とするとき、次の集合を求めよ。
(1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A}$
答え
$A = \{3, 6, 9, 12\}$, $B = \{4, 8, 12\}$ である。
(1) $A \cap B = \{12\}$
(2) $A \cup B = \{3, 4, 6, 8, 9, 12\}$
(3) $\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\}$