命題の逆・裏・対偶と証明

ステップ1:$p,q$ を確認する

この命題は $p \Rightarrow q$ の形をしていて、$p$:「$x=3$」、$q$:「$x^2=9$」です。

ステップ2:元の命題の真偽を調べる

$x=3$ のとき、$x^2=3^2=9$ となるので、たしかに $q$ が成り立ちます。したがって、元の命題「$x=3$ ならば $x^2=9$」は真です。

ステップ3:逆を作り、真偽を調べる

逆は $q \Rightarrow p$、つまり「$x^2=9$ ならば $x=3$」です。ここで、$x^2=9$ を満たす $x$ は $x=3$ だけでなく $x=-3$ もあります($(-3)^2=9$ だからです)。$x=-3$ を考えると、$x^2=9$ は成り立ちます($q$ は真)が、$x=3$ は成り立ちません($p$ は偽)。したがって、$x=-3$ が反例となり、逆「$x^2=9$ ならば $x=3$」は偽です。

ステップ4:裏を作り、真偽を調べる

裏は $\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$、つまり「$x\neq 3$ ならば $x^2\neq 9$」です。ここでも $x=-3$ を考えると、$x\neq 3$ は成り立ちます($\overline{p}$ は真)が、$x^2=(-3)^2=9$ なので $x^2\neq 9$ は成り立ちません($\overline{q}$ は偽)。したがって、$x=-3$ が反例となり、裏「$x\neq 3$ ならば $x^2\neq 9$」も偽です。

ステップ5:対偶を作り、真偽を調べる

対偶は $\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$、つまり「$x^2\neq 9$ ならば $x\neq 3$」です。これが本当に成り立つか確かめます。もし $x=3$ だとすると $x^2=9$ になってしまうので、「$x^2\neq 9$」という前提と矛盾します。つまり、$x^2\neq 9$ が成り立っている限り、$x=3$ ということはありえません。したがって $x\neq 3$ が必ず成り立つので、対偶「$x^2\neq 9$ ならば $x\neq 3$」は真です。

まとめ

元の命題(真)と対偶(真)は一致し、逆(偽)と裏(偽)も一致しています。要点整理で確認した性質のとおりになっていることが確認できました。

ステップ1:対偶を作る

元の命題は $p \Rightarrow q$ の形で、$p$:「$n^2$ が偶数」、$q$:「$n$ が偶数」です。対偶は $\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$ なので、$\overline{q}$:「$n$ が偶数でない、すなわち $n$ は奇数である」、$\overline{p}$:「$n^2$ が偶数でない、すなわち $n^2$ は奇数である」となり、対偶は次の命題になります。

$n\ \text{が奇数ならば}\ n^2\ \text{は奇数である}$

対偶と元の命題は真偽が一致するので、この対偶が真であることを示せば、元の命題も真であることが証明できます。

ステップ2:$n$ が奇数であることを式で表す

奇数とは、ある整数 $k$ を使って $2k+1$ の形に書ける数のことです($2k$ の部分が「$2$ の倍数(偶数)」で、そこに $1$ を足したものが奇数、という意味です)。そこで、$n$ が奇数であるとき、

$n=2k+1\quad(k\ \text{はある整数})$

と表すことができます。

ステップ3:$n^2$ を計算する

この $n=2k+1$ を2乗すると、

$n^2=(2k+1)^2$

乗法公式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ を使って展開すると、

$n^2=(2k)^2+2\times(2k)\times1+1^2=4k^2+4k+1$

ステップ4:奇数の形に整理する

「奇数」であることを示すには、式全体を $2\times(\text{整数})+1$ の形に書き直す必要があります。$4k^2+4k$ の部分に注目すると、

$4k^2+4k=2(2k^2+2k)$

とくくり出せるので、

$n^2=2(2k^2+2k)+1$

となります。ここで $2k^2+2k$ は、整数 $k$ を使った整数の計算(掛け算・足し算)だけでできているので、これ自体も整数です。そこで $m=2k^2+2k$(整数)とおくと、

$n^2=2m+1$

これは「$2\times(\text{整数})+1$」の形になっているので、$n^2$ は奇数であることが示せました。

ステップ5:結論をまとめる

以上より、「$n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数である」(対偶)が真であることが証明できました。対偶が真ならば元の命題も真なので、

$\therefore\ n^2\ \text{が偶数ならば}\ n\ \text{は偶数である}$

が証明されました。

なぜ対偶を使ったのか

もし元の命題を直接証明しようとすると、「$n^2$ が偶数である」という情報から出発することになりますが、$n^2=2\times(\text{整数})$ という情報だけから $n$ 自身がどんな形の数かを直接組み立てるのは簡単ではありません。それに対して、対偶では「$n$ が奇数である」、つまり $n=2k+1$ という具体的な形から出発できるので、計算だけで確実に証明を進めることができます。このように、否定した情報のほうが具体的で扱いやすいときに、対偶証明法はとても有効です。

ステップ1:背理法の準備(結論を否定して仮定する)

示したいことは「$\sqrt{2}$ は無理数である」ということです。背理法では、この結論を否定した「$\sqrt{2}$ は無理数でない、すなわち $\sqrt{2}$ は有理数である」ということを、一度正しいと仮定してみます。

ステップ2:有理数を分数の形で表す

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、$\sqrt{2}$ は整数 $a,b$($b\neq 0$)を使った分数 $\dfrac{a}{b}$ の形で表せます。さらに、分数はいつでも約分して「これ以上約分できない形(既約分数)」にできるので、$a,b$ は正の整数で、かつ最大公約数が $1$(すなわち $a$ と $b$ は $1$ 以外に共通の約数を持たない)としてよいものとします。つまり、

$\sqrt{2}=\frac{a}{b}\qquad(a,b\ \text{は正の整数、}a\ \text{と}\ b\ \text{に共通の約数は}\ 1\ \text{のみ})$

ステップ3:両辺を2乗して分母を払う

この式の両辺を2乗すると、

$2=\frac{a^2}{b^2}$

両辺に $b^2$ をかけると、

$2b^2=a^2\qquad\cdots(*)$

ステップ4:$a$ が偶数であることを示す

$(*)$ の右辺 $a^2$ は、左辺 $2b^2=2\times b^2$ に等しいので、$2\times(\text{整数})$ の形、つまり偶数です。したがって $a^2$ は偶数です。ここで、例題2で証明した事実「$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数である」を $n=a$ として使うと、$a$ も偶数であることがわかります。

ステップ5:$a$ を $2m$ とおいて代入する

$a$ が偶数なので、ある整数 $m$ を使って $a=2m$ と表せます。これを $(*)$ に代入すると、

$2b^2=(2m)^2=4m^2$

両辺を $2$ で割ると、

$b^2=2m^2$

ステップ6:$b$ も偶数であることを示す

この式の右辺 $2m^2$ は $2\times(\text{整数})$ の形なので、$b^2$ は偶数です。ここでも同じ事実を $n=b$ として使うと、$b$ も偶数であることがわかります。

ステップ7:矛盾を導く

ステップ4とステップ6より、$a$ も $b$ もどちらも偶数であることがわかりました。しかし、これは「$a$ と $b$ に共通の約数は $1$ のみである」というステップ2での前提と矛盾します(なぜなら、$a,b$ がともに偶数ならば、両方とも $2$ で割り切れるので、$2$ という共通の約数を持ってしまうからです)。

ステップ8:結論

矛盾が生じたということは、ステップ1で立てた仮定「$\sqrt{2}$ は有理数である」が誤りだったということです。したがって、

$\therefore\ \sqrt{2}\ \text{は無理数である}$

が証明されました。

対偶は「$x$ と $y$ の少なくとも一方が偶数ならば、$xy$ は偶数である」となります(「ともに奇数」の否定は「少なくとも一方が偶数」であることに注意します)。

証明:$x,y$ のうち少なくとも一方が偶数であるとし、たとえば $x$ が偶数であるとします(整数 $k$ を使って $x=2k$ と表せます)。このとき、

$xy=2k\times y=2(ky)$

$ky$ は整数どうしの積なので整数であり、$xy=2\times(\text{整数})$ の形になっているので $xy$ は偶数です。($y$ が偶数の場合も、$x$ と $y$ の役割を入れ替えれば同じように示せます。)

これで対偶が真であることが示せたので、元の命題「$xy$ が奇数ならば、$x$ と $y$ はともに奇数である」も真であることが証明されました。