反復試行の確率

この問題は、「さいころを4回投げる」という反復試行において、「1の目が出る」という事象がちょうど2回起こる確率を求める問題です。反復試行の確率の公式を使います。

まず、公式に当てはめる値を整理します。

• 試行の回数:$n = 4$
• Aが起こってほしい回数:$r = 2$
• 1回の試行でAが起こる確率(1の目が出る確率):$p = \dfrac{1}{6}$
• 1回の試行でAが起こらない確率(1以外の目が出る確率):$q = 1-\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

これらを公式 $P(X=r) = {}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}q^{n-r}$ に代入します。

$P(X=2) = {}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$

まず、${}_{4}\mathrm{C}_{2}$ を計算します。これは4個から2個を選ぶ組合せの数なので、

${}_{4}\mathrm{C}_{2} = \frac{4\times3}{2\times1} = 6$

次に、$\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}$ を計算します。

$\left(\frac{1}{6}\right)^{2} = \frac{1}{36}$

同じように、$\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}$ を計算します。

$\left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{25}{36}$

これらをすべて掛け合わせます。

$6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{6 \times 25}{36 \times 36} = \frac{150}{1296}$

最後に約分します。分子・分母を6で割ると、

$\frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

したがって、答えは $\dfrac{25}{216}$ です。

「3回以上成功する」というのは、「ちょうど3回成功する」「ちょうど4回成功する」「ちょうど5回成功する」という3つの場合をすべて合わせた事象です。これらは同時には起こらない(排反な)事象なので、それぞれの確率を反復試行の確率の公式で求めて、最後に足し合わせます。

まず、公式に共通して使う値を整理します。

• 試行の回数:$n = 5$
• 1回の試行で成功する確率:$p = \dfrac{3}{5}$
• 1回の試行で失敗する確率:$q = 1-\dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$

ちょうど3回成功する確率($r=3$)

${}_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{3}{5}\right)^{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$

${}_{5}\mathrm{C}_{3}$ を計算します。

${}_{5}\mathrm{C}_{3} = \frac{5\times4\times3}{3\times2\times1} = 10$

$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3} = \dfrac{27}{125}$、$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2} = \dfrac{4}{25}$ なので、

$10 \times \frac{27}{125} \times \frac{4}{25} = \frac{10\times27\times4}{125\times25} = \frac{1080}{3125}$

ちょうど4回成功する確率($r=4$)

${}_{5}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{3}{5}\right)^{4}\left(\frac{2}{5}\right)^{1}$

${}_{5}\mathrm{C}_{4} = 5$、$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4} = \dfrac{81}{625}$ なので、

$5 \times \frac{81}{625} \times \frac{2}{5} = \frac{5\times81\times2}{625\times5} = \frac{810}{3125}$

ちょうど5回成功する確率($r=5$)

${}_{5}\mathrm{C}_{5}\left(\frac{3}{5}\right)^{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{0}$

${}_{5}\mathrm{C}_{5} = 1$、$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{0} = 1$(0乗は1と約束されています)なので、

$1 \times \left(\frac{3}{5}\right)^{5} \times 1 = \frac{243}{3125}$

3つの確率を足し合わせる

3つの確率はすべて分母が3125にそろっているので、そのまま分子を足し合わせます。

$\frac{1080}{3125} + \frac{810}{3125} + \frac{243}{3125} = \frac{1080+810+243}{3125} = \frac{2133}{3125}$

したがって、答えは $\dfrac{2133}{3125}$ です(小数で表すとおよそ $0.683$ です)。

「少なくとも1回は1の目が出る」という事象は、「1の目が1回も出ない」という事象の余事象(すでに確率の基本性質で学んだ、「Aが起こらない」という事象のことです)になっています。

「少なくとも1回」を直接求めようとすると、「ちょうど1回」「ちょうど2回」「ちょうど3回」「ちょうど4回」の4つの場合をすべて計算して足し合わせる必要があり、とても手間がかかります。そこで、余事象を使う工夫をします。

方針:全体の確率1から、余事象(1回も出ない確率)を引く

まず、公式に使う値を整理します。

• 試行の回数:$n = 4$
• 1の目が出る確率:$p = \dfrac{1}{6}$
• 1の目が出ない確率:$q = 1-\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

余事象である「1の目が1回も出ない」というのは、反復試行の確率の公式で $r=0$ の場合にあたります。

$P(X=0) = {}_{4}\mathrm{C}_{0}\left(\frac{1}{6}\right)^{0}\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$

まず、${}_{4}\mathrm{C}_{0} = 1$ です(4個の中から0個を選ぶ選び方は「何も選ばない」の1通りだけです)。また、$\left(\dfrac{1}{6}\right)^{0} = 1$(0乗は1と約束されています)です。したがって、

$P(X=0) = 1 \times 1 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \left(\frac{5}{6}\right)^{4}$

$\left(\dfrac{5}{6}\right)^{4}$ を計算します。まず2乗を求めます。

$\left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{25}{36}$

これをさらに2乗します。

$\left(\frac{25}{36}\right)^{2} = \frac{625}{1296}$

つまり、$P(X=0) = \dfrac{625}{1296}$ です。

余事象の関係を使って答えを求める

「少なくとも1回は1の目が出る」確率は、全体の確率1から、この余事象の確率を引いたものです。

$P(\text{少なくとも1回}) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{625}{1296}$

分数の引き算をするために、1を $\dfrac{1296}{1296}$ になおしてから計算します。

$1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296}{1296} - \frac{625}{1296} = \frac{1296-625}{1296} = \frac{671}{1296}$

したがって、答えは $\dfrac{671}{1296}$ です。

$n=6$、$r=4$、$p=q=\dfrac{1}{2}$として公式に代入すると、

${}_{6}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 15 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$

答え:$\dfrac{15}{64}$