約数と倍数 | 高校数学まるごと解説

要点整理

数学A「数学と人間の活動(整数の性質)」の最初のテーマとして、整数の割り切れる・割り切れないという関係、つまり「約数」と「倍数」の意味からきちんと確認していきましょう。ここでは特に断りがない限り、正の整数(1, 2, 3, …のこと。自然数ともいいます)を対象に考えます。

約数と倍数の定義

2つの整数 $a$, $b$ について($b$ は0でないとします)、ある整数 $k$ を使って

$a = b \times k$

と表せるとき、「$b$ は $a$ の約数である」「$a$ は $b$ の倍数である」といいます。つまり、$a \div b$ を計算したときに余りが0になる(割り切れる)、ということと同じ意味です。

具体的に12という数で考えてみましょう。12を1つずつ割ってみると、

$12 = 1 \times 12,\quad 12 = 2 \times 6,\quad 12 = 3 \times 4$

という3通りのかけ算の形に分けられます。ここに出てきた数をすべて集めると、12の正の約数は

$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$

の6個であるとわかります。このように、ある数を「かけ算の形」に分けていくと、約数を見つけることができます。また、どんな正の整数も、必ず1と自分自身を約数に持ちます(これを自明な約数と呼ぶことがあります)。

一方、倍数は「整数倍してできる数」なので、3の倍数を小さい順に並べると

$3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ \ldots$

のように、限りなく続いていきます。約数は個数が有限個(必ず数え終わる)であるのに対して、倍数は無限に存在する、という違いを押さえておきましょう。

素数と合成数

2以上の整数を、正の約数の個数によって次の3種類に分けることができます。

素数:正の約数がちょうど2個(1と自分自身のみ)である整数。例:$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ \ldots$
合成数:正の約数が3個以上ある整数。例:$4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ \ldots$
1:正の約数が1個(1のみ)しかないので、素数にも合成数にも分類されない特別な数です。

なお、2は素数の中で唯一の偶数です(2より大きい偶数は、必ず2で割り切れてしまうので、1と自分自身以外にも約数を持ち、素数にはなれません)。

素因数分解

合成数を、素数だけのかけ算の形に表すことを素因数分解といいます。例えば60を素因数分解してみましょう。小さい素数から順に割っていきます。

$60 \div 2 = 30$

$30 \div 2 = 15$

$15 \div 3 = 5$

$5 \div 5 = 1$

これは、60を2で2回、3で1回、5で1回割ると1になった、ということを表しています。この割った数をすべてかけ合わせる形で書き戻すと、

$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

と素因数分解できます。ここで大事な事実として、2以上の整数を素因数分解する方法は、かける順序の違いを除けばただ1通りしかないということが知られています。これを素因数分解の一意性(算術の基本定理)といいます。だからこそ、どんな順番で素数を見つけても、最終的に同じ結果にたどり着くのです。

約数の個数の求め方

素因数分解を使うと、約数を1つずつ書き出さなくても、約数の個数を計算だけで求めることができます。先ほどの12の例($12 = 2^2 \times 3$)で考えてみましょう。

12の約数は、すべて「2を0個、1個、2個のうちどれか使う」「3を0個、1個のうちどちらか使う」という組み合わせでできています。実際に書き出すと、

$2^0 \times 3^0 = 1,\quad 2^1 \times 3^0 = 2,\quad 2^2 \times 3^0 = 4$

$2^0 \times 3^1 = 3,\quad 2^1 \times 3^1 = 6,\quad 2^2 \times 3^1 = 12$

となり、確かに先ほど求めた6個の約数と一致します。2の指数の選び方が3通り($0,1,2$)、3の指数の選び方が2通り($0,1$)なので、組み合わせの総数は

$3 \times 2 = 6$

個、というわけです。この考え方を一般化すると、次の公式が得られます。

$N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$

のように素因数分解できるとき($p_1, p_2, \ldots, p_k$ は異なる素数)、$N$ の正の約数の個数は

$(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$

個になります。それぞれの指数に「$+1$」がつくのは、各素数を「0個使う」という場合も1通りとして数えているからです。

倍数の判定法

大きな数について、実際に割り算をしなくても倍数かどうかを見分けられる便利なルールがあります。これらは10進法の仕組み(位取り)から導かれるものです。

2の倍数・5の倍数の判定:2桁以上の整数 $N$ を、一の位の数字 $n$($0$から$9$)と、それ以外の部分 $m$ を使って $N = 10m + n$ と表すと、$10m$ は常に2の倍数であり5の倍数でもあります。したがって、$N$ が2の倍数かどうか、5の倍数かどうかは、一の位の数字 $n$ だけで決まります。

2の倍数 $\iff$ 一の位が $0, 2, 4, 6, 8$ のいずれか(偶数)
5の倍数 $\iff$ 一の位が $0$ または $5$

3の倍数・9の倍数の判定:例えば2桁の整数を、十の位の数字 $a$、一の位の数字 $b$ を使って $10a+b$ と表すと、

$10a + b = 9a + a + b$

と変形できます。$9a$ は必ず3の倍数であり9の倍数でもあるので、$10a+b$ が3の倍数(または9の倍数)かどうかは、$a+b$、つまり各位の数字の和が3の倍数(または9の倍数)かどうかで決まります。桁数が増えても同じ考え方が成り立ちます。

3の倍数 $\iff$ 各位の数字の和が3の倍数
9の倍数 $\iff$ 各位の数字の和が9の倍数

4の倍数の判定:整数 $N$ を、下2桁の数 $n$($0$から$99$)と、それ以外の部分 $m$ を使って $N = 100m + n$ と表すと、$100 = 4 \times 25$ なので $100m$ は常に4の倍数です。したがって、$N$ が4の倍数かどうかは、下2桁が4の倍数かどうかだけで決まります。

4の倍数 $\iff$ 下2桁の数が4の倍数

これらの判定法は、次の例題でも実際に使いながら確認していきます。

例題

例題1(基本)

問題

60の正の約数をすべて求め、その個数を答えなさい。

解答・解説を見る

考え方:小さい数から順に、かけ算のペアを探していきます。

$1 \times 60 = 60$ なので、$1$ と $60$ は約数です。 $2 \times 30 = 60$ なので、$2$ と $30$ は約数です。 $3 \times 20 = 60$ なので、$3$ と $20$ は約数です。 $4 \times 15 = 60$ なので、$4$ と $15$ は約数です。 $5 \times 12 = 60$ なので、$5$ と $12$ は約数です。 $6 \times 10 = 60$ なので、$6$ と $10$ は約数です。

次に $7$ で割れるか調べると、$60 \div 7$ は割り切れません。実は、ペアの片方の数がもう片方より大きくなり始めたら(この場合 $6 \times 10$ の次、$7$ を調べた時点でもう一方の相手が $8$台になり、すでに見つけた数を下回ってしまう)、それ以降は同じ約数の組み合わせを逆順で見つけるだけになるので、探索はここで終わりにできます。

見つかった数を小さい順に並べると、60の正の約数は

$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 10,\ 12,\ 15,\ 20,\ 30,\ 60$

の12個です。

確認(素因数分解を使う方法):60を素因数分解すると、

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$

なので、約数の個数の公式より、

$(2+1)(1+1)(1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$

個となり、先ほど数え上げた個数と一致します。

例題2(標準)

問題

252を素因数分解し、その正の約数の個数を求めなさい。また、252は4の倍数、3の倍数、9の倍数のそれぞれにあてはまるかを判定しなさい。

解答・解説を見る

素因数分解:小さい素数から順に割っていきます。

$252 \div 2 = 126$

$126 \div 2 = 63$

$63 \div 3 = 21$

$21 \div 3 = 7$

$7 \div 7 = 1$

割った数をかけ合わせる形にまとめると、

$252 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

約数の個数:約数の個数の公式に、指数 $2, 2, 1$ をあてはめると、

$(2+1)(2+1)(1+1) = 3 \times 3 \times 2 = 18$

より、正の約数は18個です。

倍数の判定:

4の倍数かどうか:下2桁は $52$ です。$52 \div 4 = 13$ で割り切れるので、252は4の倍数です。
3の倍数かどうか:各位の数字の和は $2+5+2=9$ です。9は3の倍数なので、252は3の倍数です。
9の倍数かどうか:先ほど求めた数字の和 $9$ は9の倍数でもあるので、252は9の倍数です。

素因数分解の結果 $252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ を見ても、$3^2$ という形で3を2個含んでいるため9($=3^2$)で割り切れることが確認でき、判定法の結果と一致していますね。

例題3(応用)

問題

百の位が8、一の位が4であるような3桁の整数 8□4(十の位の数字が分からない整数)があります。この数が3の倍数であり、かつ4の倍数でもあるとき、□にあてはまる数字としてありうるものをすべて求めなさい。

解答・解説を見る

考え方:十の位の数字を $x$($x$ は $0$ から $9$ までの整数)とおき、「4の倍数になる条件」と「3の倍数になる条件」をそれぞれ調べてから、両方を満たす $x$ を絞り込みます。

ステップ1:4の倍数になる条件を調べる

4の倍数の判定法より、下2桁の数、つまり十の位と一の位からなる2桁の数($10x+4$)が4の倍数であればよいので、$x=0$ から $9$ まで順に調べます。

$x=0$:$04=4$、$4 \div 4 = 1$ で割り切れる ○ $x=1$:$14$、$14 \div 4 = 3.5$ で割り切れない × $x=2$:$24$、$24 \div 4 = 6$ で割り切れる ○ $x=3$:$34$、$34 \div 4 = 8.5$ で割り切れない × $x=4$:$44$、$44 \div 4 = 11$ で割り切れる ○ $x=5$:$54$、$54 \div 4 = 13.5$ で割り切れない × $x=6$:$64$、$64 \div 4 = 16$ で割り切れる ○ $x=7$:$74$、$74 \div 4 = 18.5$ で割り切れない × $x=8$:$84$、$84 \div 4 = 21$ で割り切れる ○ $x=9$:$94$、$94 \div 4 = 23.5$ で割り切れない ×

よって、4の倍数になるのは $x = 0, 2, 4, 6, 8$ のときです。

ステップ2:3の倍数になる条件を調べる

3の倍数の判定法より、各位の数字の和 $8+x+4 = 12+x$ が3の倍数であればよいです。$12$ はすでに3の倍数($12 = 3 \times 4$)なので、$12+x$ が3の倍数になるのは、$x$ 自身が3の倍数のときです。$x$ は $0$ から $9$ までの整数なので、

$x = 0, 3, 6, 9$

ステップ3:両方の条件を同時に満たす $x$ を求める

ステップ1の結果 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ と、ステップ2の結果 $\{0, 3, 6, 9\}$ の両方に共通して含まれる数を探すと、

$x = 0 \text{ または } x = 6$

検算:$x=0$ のとき数は $804$。$804 \div 3 = 268$、$804 \div 4 = 201$ で、どちらも割り切れます。$x=6$ のとき数は $864$。$864 \div 3 = 288$、$864 \div 4 = 216$ で、どちらも割り切れます。

よって、□にあてはまる数字は 0 と 6 です。

練習問題

問題

168を素因数分解し、その正の約数の個数を求めなさい。

答え

$168 = 2^3 \times 3 \times 7$ より、約数の個数は $(3+1)(1+1)(1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16$ 個です。