確率変数と確率分布 | 高校数学まるごと解説

要点整理

確率変数とは

サイコロを1回投げたとき、出る目は $1,2,3,4,5,6$ のどれかですが、実際に投げてみるまでどの目が出るかは分かりません。このように、試行（実験やくじ引きなど、結果が偶然によって決まる行為）の結果によって、値が決まる変数のことを確率変数と呼びます。確率変数は $X$ や $Y$ のような大文字のアルファベットで表すのが普通です。

たとえば、サイコロを1回投げて出た目を $X$ とすると、$X$ は $1,2,3,4,5,6$ のどれかの値をとる確率変数です。「$X$ が$3$である」という事象は $X=3$ と書きます。

確率分布とは

確率変数 $X$ について、$X$ がとりうるすべての値と、それぞれの値をとる確率をひとつの表にまとめたものを確率分布と呼びます。サイコロの例では、確率分布は次のような表になります。

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
$P$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$1$

表の下の行 $P$ は、それぞれの値をとる確率を表しています。「$X=k$ となる確率」のことを、記号で $P(X=k)$ と書きます。たとえば、この表から $P(X=3)=\dfrac{1}{6}$ であることが読み取れます。

確率分布の性質

確率分布には、次の2つの大切な性質があります。

どの確率も $0$ 以上 $1$ 以下である。つまり $0\leq P(X=x_i) \leq 1$ です（確率が負になったり、$1$を超えたりすることはありません）。
すべての確率を足し合わせると、必ず $1$ になる。

$P(X=x_1)+P(X=x_2)+\cdots+P(X=x_n) = 1$

これは、「$X$が何らかの値をとる」という事象（全事象）の確率が $1$ であることを表しています。確率分布の表を作ったら、確率の合計が本当に$1$になっているかを確認する習慣をつけると、計算ミスの発見に役立ちます。

例題

例題1（基本）

問題

2枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出た枚数を $X$ とします。$X$ の確率分布を求めなさい。

解答・解説を見る

2枚の硬貨をそれぞれ硬貨A、硬貨Bとすると、表を「表」、裏を「裏」として、起こりうるすべての場合は次の4通りです（どの場合も同じ確率で起こります）。

$(\text{表},\text{表}), \ (\text{表},\text{裏}), \ (\text{裏},\text{表}), \ (\text{裏},\text{裏})$

$X$は表の出た枚数なので、それぞれの場合について$X$の値を数えます。

$(\text{表},\text{表})$: 表が2枚 → $X=2$
$(\text{表},\text{裏})$: 表が1枚 → $X=1$
$(\text{裏},\text{表})$: 表が1枚 → $X=1$
$(\text{裏},\text{裏})$: 表が0枚 → $X=0$

全部で4通りのうち、$X=0$になるのは1通り、$X=1$になるのは2通り、$X=2$になるのは1通りです。したがって、

$P(X=0)=\frac{1}{4}, \quad P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \quad P(X=2)=\frac{1}{4}$

これを表にまとめると、

$X$	$0$	$1$	$2$	計
$P$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$	$1$

確率の合計を確認すると、$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}=1$ となり、正しく$1$になっています。

例題2（標準）

問題

袋の中に赤玉が2個、白玉が3個入っています。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す、という試行を2回繰り返します。2回のうち赤玉が出た回数を $X$ とするとき、$X$ の確率分布を求めなさい。

解答・解説を見る

1回の試行で赤玉が出る確率は、袋の中の玉は全部で $2+3=5$ 個なので、

$\frac{2}{5}$

玉は毎回袋に戻すので、1回目と2回目の結果は互いに影響しません（このような試行の独立性については、確率の基本性質の単元で学んだ通りです）。$X$ は2回のうち赤玉が出た回数なので、$X$ がとりうる値は $0,1,2$ です。

$X=0$（2回とも赤玉が出ない＝2回とも白玉）の確率

1回目が白玉である確率は $\dfrac{3}{5}$、2回目も白玉である確率は $\dfrac{3}{5}$ なので、

$P(X=0) = \frac{3}{5}\times\frac{3}{5} = \frac{9}{25}$

$X=2$（2回とも赤玉が出る）の確率

$P(X=2) = \frac{2}{5}\times\frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

$X=1$（2回のうちちょうど1回だけ赤玉が出る）の確率

これは、「1回目が赤玉・2回目が白玉」の場合と、「1回目が白玉・2回目が赤玉」の場合の、2通りの起こり方があります。

$(\text{1回目赤、2回目白}): \ \frac{2}{5}\times\frac{3}{5} = \frac{6}{25}$

$(\text{1回目白、2回目赤}): \ \frac{3}{5}\times\frac{2}{5} = \frac{6}{25}$

この2つは同時には起こらない別々の場合なので、確率を足し合わせます。

$P(X=1) = \frac{6}{25}+\frac{6}{25} = \frac{12}{25}$

したがって、確率分布は次の表のようになります。

$X$	$0$	$1$	$2$	計
$P$	$\dfrac{9}{25}$	$\dfrac{12}{25}$	$\dfrac{4}{25}$	$1$

確認すると、$\dfrac{9}{25}+\dfrac{12}{25}+\dfrac{4}{25}=\dfrac{25}{25}=1$ となり、正しく$1$になっています。

例題3（応用）

問題

赤玉3個、白玉2個が入った袋から、同時に2個の玉を取り出します。取り出した玉のうち赤玉の個数を $X$ とするとき、$X$ の確率分布を求めなさい。

解答・解説を見る

袋の中には玉が全部で $3+2=5$ 個あります。この中から2個を同時に取り出す方法の総数は、組み合わせの記号 $\mathrm{C}$（順番を区別しない選び方の数を表す記号で、$n$個から$r$個選ぶ方法の数を$\mathrm{{}_nC_r}$と書きます）を使って、

$\mathrm{{}_5C_2} = \frac{5\times4}{2\times1} = 10$

通りです。$X$（取り出した赤玉の個数）がとりうる値は $0,1,2$ です。

$X=0$（赤玉0個、つまり2個とも白玉）の場合の数

白玉2個の中から2個を選ぶので、

$\mathrm{{}_2C_2} = 1$

通り。したがって、

$P(X=0) = \frac{1}{10}$

$X=1$（赤玉1個、白玉1個）の場合の数

赤玉3個の中から1個を選ぶ方法が $\mathrm{{}_3C_1}=3$ 通り、白玉2個の中から1個を選ぶ方法が $\mathrm{{}_2C_1}=2$ 通りあり、これらを組み合わせるので、

$\mathrm{{}_3C_1}\times\mathrm{{}_2C_1} = 3\times2=6$

通り。したがって、

$P(X=1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$X=2$（赤玉2個、つまり2個とも赤玉）の場合の数

赤玉3個の中から2個を選ぶので、

$\mathrm{{}_3C_2} = \frac{3\times2}{2\times1} = 3$

通り。したがって、

$P(X=2) = \frac{3}{10}$

したがって、確率分布は次の表のようになります。

$X$	$0$	$1$	$2$	計
$P$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{3}{5}$	$\dfrac{3}{10}$	$1$

確認すると、$\dfrac{1}{10}+\dfrac{6}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{10}{10}=1$ となり、正しく$1$になっています。

練習問題

問題1

サイコロを1回投げて、出た目が偶数なら$1$、奇数なら$0$となる確率変数を $X$ とするとき、$X$ の確率分布を求めなさい。

答え

偶数（$2,4,6$）が出る確率は $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$、奇数が出る確率も $\dfrac{1}{2}$ なので、$P(X=0)=\dfrac{1}{2}$、$P(X=1)=\dfrac{1}{2}$。

問題2

袋の中に赤玉4個、白玉1個が入っています。玉を1個取り出して色を見てから戻す試行を2回行い、赤玉が出た回数を$X$とするとき、$X$の確率分布を求めなさい。

答え

1回で赤玉が出る確率は $\dfrac{4}{5}$、白玉は $\dfrac{1}{5}$。

$P(X=0)=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{25}$、$P(X=2)=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{25}$、$P(X=1)=2\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{8}{25}$

問題3

赤玉2個、白玉4個が入った袋から同時に2個取り出すとき、取り出した赤玉の個数を$X$とする確率分布を求めなさい。

答え

全体は $\mathrm{{}_6C_2}=15$通り。$P(X=0)=\dfrac{\mathrm{{}_4C_2}}{15}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$、$P(X=1)=\dfrac{\mathrm{{}_2C_1}\times\mathrm{{}_4C_1}}{15}=\dfrac{8}{15}$、$P(X=2)=\dfrac{\mathrm{{}_2C_2}}{15}=\dfrac{1}{15}$